Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n² + 21n jest podzielna przez 14.

Zadanie 7 · 2 pkt · dowód

Podzielność liczby 7n² + 21n przez 14

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Wyłączamy $7n$ przed nawias; liczba $n(n + 3)$ jest całkowita, więc dana liczba jest podzielna przez $7$ ⁠.
$7n^2 + 21n = 7n(n + 3), \qquad n(n + 3) \in \mathbb{Z}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Gdy $n$ jest parzysta, czyli $n = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ ⁠, iloczyn $n(n + 3)$ jest podzielny przez $2$ ⁠.
$n(n + 3) = 2k(2k + 3) = 2 \cdot k(2k + 3)$
Gdy $n$ jest nieparzysta, czyli $n = 2k + 1$ ⁠, parzysta jest liczba $n + 3$ ⁠, więc iloczyn $n(n + 3)$ też jest podzielny przez $2$ — dla każdej liczby całkowitej $n$ ⁠.
$n(n + 3) = (2k + 1)(2k + 4) = 2 \cdot (2k + 1)(k + 2)$
Do tego miejsca: 2 pkt
Liczba $7n(n + 3)$ jest więc podzielna przez $7$ i przez $2$ ⁠, a te liczby są względnie pierwsze, zatem jest podzielna przez $14$ ⁠, co należało wykazać.
$7n^2 + 21n = 7 \cdot n(n + 3) = 7 \cdot 2m = 14m, \qquad m \in \mathbb{Z}$

Odpowiedź

$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$ ⁠, a liczba $n(n + 3)$ jest parzysta, więc dana liczba jest podzielna przez $14$ ⁠.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktprzeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.• uzasadnienie, że liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $7$ i przez $2$ LUB• rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2k$ ⁠, tj. uzasadnienie, że liczba $7 \cdot (2k)^2 + 21 \cdot (2k)$ jest podzielna przez $14$ ⁠, oraz rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2k + 1$ ⁠, tj. uzasadnienie, że liczba $7 \cdot (2k + 1)^2 + 21 \cdot (2k + 1)$ jest podzielna przez $14$ ⁠.
1 pktuzasadnienie, że liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $7$ ALBO– uzasadnienie, że liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $2$ ⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2k$ ⁠, tj. uzasadnienie, że liczba $7 \cdot (2k)^2 + 21 \cdot (2k)$ jest podzielna przez $14$ ⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2k + 1$ ⁠, tj. uzasadnienie, że liczba $7 \cdot (2k + 1)^2 + 21 \cdot (2k + 1)$ jest podzielna przez $14$ ⁠.

Każdy ze składników $7n^2$ i $21n$ jest podzielny przez $7$ ⁠. Dla $n$ parzystego oba składniki są parzyste, a dla $n$ nieparzystego oba są nieparzyste, więc ich suma jest parzysta. Liczba jest podzielna przez $2$ i przez $7$ ⁠, czyli przez $14$ ⁠.
Rozpatrzenie dwóch przypadków: dla $n = 2k$ jest $7 \cdot (2k)^2 + 21 \cdot (2k) = 28k^2 + 42k = 14 \cdot (2k^2 + 3k)$ ⁠, a dla $n = 2k + 1$ jest $7 \cdot (2k + 1)^2 + 21 \cdot (2k + 1) = 28k^2 + 70k + 28 = 14 \cdot (2k^2 + 5k + 2)$ ⁠.

1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$ ⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby całkowitej $n$ wyrażenie $7n^2 - 21n$ (zamiast $7n^2 + 21n$ ⁠) jest podzielne przez $14$ ⁠, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmuje np. $n = 14k + r$ ⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ i $r$ jest resztą z dzielenia liczby $n$ przez $14$ ⁠, i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający zapisze równanie $7n(n + 3) = 0$ (lub $7(n^2 + 3n) = 0$ ⁠), to nie uznaje się tego zapisu jako uzasadnienia podzielności wyrażenia $7n^2 + 21n$ przez $7$ ⁠.

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 7