Wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka i miejsca zerowego przesuniętej funkcji

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$⁠.
• 3 pktspełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze współczynników $a$⁠, $b$ lub $c$ funkcji $f$⁠: $a = \frac{1}{2}$ lub $b = -3$⁠, lub $c = \frac{5}{2}$⁠.
• 2 pktzapisanie wzoru funkcji $f$ w postaci $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$ oraz zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$ALBO– zapisanie wzoru funkcji $f$ w postaci $f(x) = a(x - 1)(x - 5)$ lub $f(x) = a(x - 1)^2 - 4a(x - 1)$⁠,ALBO– wykorzystanie wzoru funkcji $g$ w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie równania z jedną niewiadomą $a$⁠, np. $0 = a(0 - 2)^2 - 2$⁠, $0 = a(4 - 2)^2 - 2$⁠, $-2 = a \cdot 2 \cdot (2 - 4)$⁠,ALBO– zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi $a$⁠, $b$⁠, $c$ prowadzącego do obliczenia wartości współczynników $a$⁠, $b$ oraz $c$⁠, np.:$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0$ oraz $\frac{-b}{2a} = 3$ oraz $\frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = -2$lub$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0$ oraz $\frac{-b}{2a} = 3$ oraz $a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = -2$⁠.
• 1 pktzapisanie wzoru funkcji $f$ w postaci $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$ALBO– zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$⁠,ALBO– zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji $g$ jest punkt o współrzędnych $(2, -2)$⁠,ALBO– zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji $g$ jest liczba $4$⁠,ALBO– zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi $a$⁠, $b$⁠, $c$⁠, np.:$\frac{-b}{2a} = 3$ oraz $\frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = -2$lub$\frac{-b}{2a} = 3$ oraz $a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = -2$⁠,lub$a + b + c = 0$ oraz $a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = -2$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Miejscami zerowymi funkcji $f$ są $1$ i $5$ (wykres jest symetryczny względem prostej $x = 3$⁠), więc $f(x) = a(x - 1)(x - 5)$⁠; z $f(3) = -2$ otrzymujemy $-4a = -2$⁠, czyli $a = \frac{1}{2}$⁠, i $f(x) = \frac{1}{2}\left(x^2 - 6x + 5\right)$⁠.
• Postać ogólna $f(x) = ax^2 + bx + c$ i układ równań $\frac{-b}{2a} = 3$⁠, $\frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = -2$ oraz $a + b + c = 0$ (bo $f(1) = 0$⁠); z dwóch pierwszych $b = -6a$ i $c = 9a - 2$⁠, a z trzeciego $4a = 2$⁠.
• Układ trzech równań $f(1) = 0$⁠, $f(5) = 0$⁠, $f(3) = -2$ dla $f(x) = ax^2 + bx + c$⁠.
• Wykres funkcji $g$ to wykres funkcji $f$ przesunięty o $1$ w lewo, więc $g(x) = a(x - 2)^2 - 2$⁠; z $g(0) = 0$ mamy $4a = 2$⁠, a potem $f(x) = g(x - 1) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników $a$⁠, $b$ oraz $c$ we wzorze funkcji $f$⁠, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/podaa) miejsce zerowe funkcji $f$⁠, ale zapisze błędne równanie$0 = a(1 + 3)^2 - 2$ lub$0 = a(5 + 3)^2 - 2$⁠, lub$0 = a(1 - 3) - 2$⁠, lub$0 = a(5 - 3) - 2$⁠,b) miejsca zerowe funkcji $f$⁠, ale zapisze błędne równanie$-2 = a(3 + 1)(3 + 5)$ lub$-2 = a(3 + 1)(3 - 5)$⁠, lub$-2 = a(3 - 1)(3 + 5)$⁠,a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji $f$ jako $(-1)$ lub $0$⁠, a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/podaa) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji $g$⁠, ale zapisze błędne równanie $0 = a(0 + 2)^2 - 2$⁠,b) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji $g$ oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji, ale zapisze błędne równanie $-2 = a \cdot 2 \cdot (2 + 4)$ lub $4 = a(0 - 2)^2 - 2$⁠,a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 5. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$⁠, jako punkt $(4, -2)$ albo $(3, -1)$⁠, albo $(3, -3)$⁠, a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 6. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika $a$ we wzorze funkcji $g$⁠, lecz do wzoru funkcji $f$ wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.