Pole trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych

Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy długości boków $AB$ i $BC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów.

   $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}, \\ |BC| &= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \end{aligned}$$

2. Punkty $A$ i $C$ leżą na osi $Oy$⁠, więc długość boku $AC$ to różnica ich drugich współrzędnych.

   $$|AC| = 2 - (-3) = 5$$

3. Najdłuższy jest bok $AC$ i spełniona jest równość z twierdzenia Pitagorasa, więc kąt prosty jest przy wierzchołku $B$⁠.

   $$|AB|^2 + |BC|^2 = 20 + 5 = 25 = |AC|^2$$

4. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych.

   $$P = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$