Zadanie 21 · 2 pkt · dowód

Stosunek pól trójkątów wyznaczonych przez dwusieczną

Dany jest trójkąt $KLM$ ⁠, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$ ⁠.

Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczamy $|\measuredangle LMK| = 2\alpha$ ⁠; odcinek $MN$ leży na dwusiecznej, więc dzieli ten kąt na dwa kąty o mierze $\alpha$ ⁠.
$|\measuredangle KMN| = |\measuredangle NML| = \alpha$
Ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi zapisujemy pola obu trójkątów.
$P_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\alpha, \qquad P_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\alpha$
Do tego miejsca: 1 pkt
Dzielimy pola i skracamy wspólne czynniki różne od zera, co kończy dowód.
$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\alpha} = \frac{a}{b}$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{a}{b}$ ⁠, co należało wykazać.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pktzapisanie pola trójkąta $KNM$ w postaci $P_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\alpha$ oraz zapisanie pola trójkąta $NLM$ w postaci $P_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\alpha$ ALBO– uzasadnienie, że wysokości trójkątów $KNM$ i $NLM$ poprowadzonez wierzchołka $N$ są równe,ALBO– zapisanie pola trójkąta $KNM$ w postaci $P_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot |KN| \cdot h$ oraz zapisanie pola trójkąta $NLM$ w postaci $P_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot |NL| \cdot h$ ⁠,ALBO– zapisanie związku $\frac{|KN|}{|NL|} = \frac{a}{b}$ ⁠,ALBO– zapisanie związku $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{|KN|}{|NL|}$ ⁠.

Punkt $N$ leży na dwusiecznej kąta $LMK$ ⁠, więc jest jednakowo odległy od ramion $MK$ i $ML$ ⁠, więc wysokości trójkątów $KNM$ i $NLM$ poprowadzone z wierzchołka $N$ są równe, np. $d$ ⁠. Stąd $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot d}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot d} = \frac{a}{b}$ ⁠.
Trójkąty $KNM$ i $NLM$ mają wspólną wysokość $h$ poprowadzoną z wierzchołka $M$ ⁠, więc $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{|KN|}{|NL|}$ ⁠, a z twierdzenia o dwusiecznej $\frac{|KN|}{|NL|} = \frac{a}{b}$ ⁠.

1. a) Jeżeli zdający zapisze $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh} = \frac{a}{b}$ i w rozwiązaniu nie określa, że $h$ reprezentuje wysokości trójkątów $KNM$ i $NLM$ poprowadzone z wierzchołka $N$ ⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
b) Jeżeli zdający zapisze $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh} = \frac{a}{b}$ i w rozwiązaniu określa (np. na rysunku), że $h$ reprezentuje wysokości trójkątów $KNM$ i $NLM$ poprowadzone z wierzchołka $N$ ⁠, ale nie uzasadnia równości tych wysokości, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie popełnił innych błędów.
2. Jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość kąta, np. $|\measuredangle LMK| = 90^\circ$ ⁠, i na tym opiera swoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 21