Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n + 5 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzywyrazowy ciąg (a1, a9, ak) jest geometryczny. Oblicz k. Zapisz obliczenia.

Zadanie 15 · 3 pkt · otwarte

Wyrazy ciągu arytmetycznego tworzące ciąg geometryczny

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ ⁠. Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny.

Oblicz $k$ ⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Obliczamy wyrazy $a_1$ i $a_9$ ze wzoru ogólnego ciągu.
$a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8, \qquad a_9 = 3 \cdot 9 + 5 = 32$
Do tego miejsca: 1 pkt
Iloraz ciągu geometrycznego $(8, 32, a_k)$ jest równy $4$ ⁠, więc obliczamy jego trzeci wyraz.
$q = \frac{32}{8} = 4, \qquad a_k = 32 \cdot 4 = 128$
Do tego miejsca: 2 pkt
Wyraz $a_k$ jest równy $3k + 5$ ⁠, więc rozwiązujemy równanie.
$3k + 5 = 128 \;\Rightarrow\; 3k = 123 \;\Rightarrow\; k = 41$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

$k = 41$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $k = 41$ ⁠.
2 pktobliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: $(8, 32, 128)$ ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą $k$ ⁠, wynikającego z własności ciągu geometrycznego, np. $32^2 = 8 \cdot (3k + 5)$ ⁠.
1 pktobliczenie wyrazów $a_1$ oraz $a_9$ ⁠: $a_1 = 8$ ⁠, $a_9 = 32$ ALBO– wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami $a_1$ ⁠, $a_9$ ⁠, $a_k$ ⁠, np. $(a_9)^2 = a_1 \cdot a_k$ ⁠.

Z własności ciągu geometrycznego $(a_9)^2 = a_1 \cdot a_k$ ⁠, czyli $32^2 = 8 \cdot (3k + 5)$ ⁠, skąd $3k + 5 = 128$ i $k = 41$ ⁠.

Jeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny $(a_1, a_l, a_k)$ ⁠, gdzie $l$ jest liczbą naturalną większą od $2$ i różną od $9$ ⁠, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich wyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą $k$ wynikającego z własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie $k$ ⁠).

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 15