Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x + 8 Zapisz obliczenia.

x ∈ (-∞, -4/3] ∪ [2, +∞)

Zadanie 10 · 2 pkt · otwarte

Nierówność kwadratowa z niewiadomą po obu stronach

Rozwiąż nierówność $3x^2 + 4x \ge 6x + 8$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
$3x^2 + 4x - 6x - 8 \ge 0 \;\Rightarrow\; 3x^2 - 2x - 8 \ge 0$
Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2 - 2x - 8$ ⁠.
$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100, \qquad \sqrt{\Delta} = 10$
Obliczamy pierwiastki trójmianu.
$x_1 = \dfrac{2 - 10}{6} = -\dfrac{4}{3}, \qquad x_2 = \dfrac{2 + 10}{6} = 2$
Do tego miejsca: 1 pkt
Ramiona paraboli $y = 3x^2 - 2x - 8$ są skierowane w górę, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między pierwiastkami, razem z pierwiastkami.
$x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, +\infty)$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, +\infty)$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, +\infty)$ ALBO– zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.
1 pktobliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego $3x^2 - 2x - 8$ ⁠: $x_1 = -\frac{4}{3}$ oraz $x_2 = 2$ ⁠.

Grupowanie wyrazów: $x(3x + 4) \ge 2(3x + 4)$ ⁠, więc $(3x + 4)(x - 2) \ge 0$ ⁠; miejsca zerowe to $-\frac{4}{3}$ i $2$ ⁠, a wartości nieujemne są poza przedziałem między nimi.
Iloczyn $(3x + 4)(x - 2)$ jest nieujemny, gdy oba czynniki są niedodatnie albo oba nieujemne, czyli gdy $x \le -\frac{4}{3}$ lub $x \ge 2$ ⁠.
Trzy przypadki znaku dwumianu $3x + 4$ w nierówności $x(3x + 4) \ge 2(3x + 4)$ — dla $x = -\frac{4}{3}$ nierówność jest prawdziwa, dla $3x + 4 > 0$ po podzieleniu otrzymujemy $x \ge 2$ ⁠, a dla $3x + 4 < 0$ otrzymujemy $x \le 2$ ⁠, czyli $x < -\frac{4}{3}$ ⁠.

1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób jednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.
2. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu $3x^2 - 2x - 8$ ⁠, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik $\Delta$ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. $3x^2 + 4x$ ⁠), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. $3x^2 + 4x \ge 0$ ⁠), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. $x \in \left[-\frac{4}{3}, 2\right]$ lub $x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right) \cup (2, +\infty)$ ⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian $3x + 4$ bez rozpatrywania znaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 10