Zadanie 27 · 2 pkt · otwarte

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$ ⁠. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ ⁠.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczamy ostrosłup $ABCDS$ i spodek wysokości $O$ — środek podstawy; odcinek $OB$ to połowa przekątnej, a kąt nachylenia krawędzi $SB$ do podstawy to kąt $SBO$ ⁠.
$|OB| = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}, \qquad |\measuredangle SBO| = 30^\circ$
W trójkącie prostokątnym $SOB$ obliczamy wysokość $H = |SO|$ ⁠.
$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{H}{4\sqrt{3}} \;\Rightarrow\; H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4$
Do tego miejsca: 1 pkt
Pole podstawy-kwadratu to połowa kwadratu przekątnej; obliczamy objętość.
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(8\sqrt{3}\right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 128$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$V = 128$

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $V = 128$ ⁠.
1 pktobliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: $H = 4$ ALBO– wyznaczenie pola podstawy ostrosłupa: $P_{ABCD} = (4\sqrt{6})^2$ (lub $P_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{3})^2$ ⁠).

Uwagi z zasad oceniania CKE

Jeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 27