Zadanie 11 · 2 pkt · otwarte

Bilety normalne i ulgowe

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów.

Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczamy przez $x$ liczbę biletów normalnych, a przez $y$ liczbę biletów ulgowych; po odjęciu $25\%$ kosztów zostaje $75\%$ wpływów, więc zapisujemy układ równań.
$x + y = 200, \qquad 0{,}75 \cdot (35x + 25y) = 4665$
Do tego miejsca: 1 pkt
Dzielimy drugie równanie przez $0{,}75$ i podstawiamy $x = 200 - y$ z pierwszego równania.
$35x + 25y = 6220 \;\Rightarrow\; 35(200 - y) + 25y = 6220$
Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą.
$7000 - 35y + 25y = 6220 \;\Rightarrow\; -10y = -780 \;\Rightarrow\; y = 78$
Do tego miejsca: 2 pkt
Sprawdzamy: biletów normalnych było $122$ ⁠, a po odjęciu kosztów zostaje $4665$ zł.
$x = 200 - 78 = 122, \qquad 0{,}75 \cdot (35 \cdot 122 + 25 \cdot 78) = 0{,}75 \cdot 6220 = 4665$

Odpowiedź

Na przedstawienie sprzedano $78$ biletów ulgowych.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $78$ ⁠.
1 pktzapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. $x + y = 200$ oraz $0{,}75 \cdot (35x + 25y) = 4665$ ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie, np. $35(200 - y) + 25y = \frac{4665}{0{,}75}$ ⁠,ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. $35x + 25(200 - x) = \frac{4665}{0{,}75}$ ⁠,ALBO– zapisanie różnicy $\frac{4665}{0{,}75} - 25 \cdot 200$ oraz zapisanie różnicy $35 - 25$ ⁠,ALBO– zapisanie różnicy $35 \cdot 200 - \frac{4665}{0{,}75}$ oraz zapisanie różnicy $35 - 25$ ⁠,ALBO– zapisanie różnicy $\frac{4665}{0{,}75} - (25 \cdot 100 + 35 \cdot 100)$ oraz zapisanie różnicy $35 - 25$ ⁠.

Przychód ze sprzedaży to $\frac{4665}{0{,}75} = 6220$ zł. Gdyby wszystkie $200$ biletów były normalne, przychód wyniósłby $35 \cdot 200 = 7000$ zł, czyli o $780$ zł więcej. Bilet ulgowy jest tańszy o $10$ zł, więc biletów ulgowych było $780 : 10 = 78$ ⁠.

Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb $x$ oraz $y$ i wskaże właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 11