Równanie 3x³ − 2x² − 12x + 8 = 0 rozwiązane grupowaniem wyrazów

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 3 pktpoprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania: $(-2)$⁠, $\frac{2}{3}$⁠, $2$ALBO– wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: $(-2)$⁠, $\frac{2}{3}$⁠, $2$⁠, oraz stwierdzenie, że są to jedyne rozwiązania równania.
• 2 pktprzekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu, np. $(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$ i $x = \frac{2}{3}$⁠,$(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$ i $x = -2$ oraz $x = 2$ALBO– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu $W$ oraz poprawne podzielenie wielomianu $W$ przez odpowiedni dwumian, np.$x = 2$ i $(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8) : (x - 2) = 3x^2 + 4x - 4$⁠,ALBO– rozłożenie wielomianu $W(x) = 3x^3 - 2x^2 - 12x + 8$ na czynniki liniowe, np. $W(x) = (3x - 2)(x - 2)(x + 2)$⁠,ALBO– przekształcenie równania $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$ do postaci alternatywy równań i rozwiązanie jednego z nich, np.($3x - 2 = 0$ lub $x^2 - 4 = 0$⁠) i $x = 2$ oraz $x = -2$⁠.
• 1 pktprzekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego, np. $(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$ALBO– zapisanie jednego z rozwiązań równania $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$ (jeśli to rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),ALBO– przekształcenie równania $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$ do postaci alternatywy równań, np. $3x - 2 = 0$ lub $x^2 - 4 = 0$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Inne pogrupowanie wyrazów: $3x(x^2 - 4) - 2(x^2 - 4) = 0$⁠, czyli $(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$⁠, a dalej jak wyżej.
• Sprawdzenie, że $W(2) = 0$⁠, podzielenie $W(x)$ przez dwumian $x - 2$⁠, czyli $W(x) = (x - 2)(3x^2 + 4x - 4)$⁠, i obliczenie pierwiastków trójmianu ($\Delta = 64$⁠).
• Sprawdzenie, że $W(2) = 0$⁠, $W(-2) = 0$ i $W\left(\frac{2}{3}\right) = 0$⁠, oraz stwierdzenie, że wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje czynnik $(3x - 2)$ z wykładnikiem $2$⁠, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.