Zadanie 30 · 2 pkt · otwarte

Iloczyn dwóch wylosowanych liczb podzielny przez 15

Ze zbioru ośmiu liczb $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$ ⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Zdarzenia elementarne to uporządkowane pary liczb ze zbioru ośmioelementowego; z reguły mnożenia jest ich $64$ ⁠.
$|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64$
Do tego miejsca: 1 pkt
W zbiorze jedyną liczbą podzielną przez $5$ jest $5$ ⁠, więc jedna z liczb musi być równa $5$ ⁠, a druga podzielna przez $3$ ( $3$ ⁠, $6$ albo $9$ ⁠): $(3, 5)$ ⁠, $(5, 3)$ ⁠, $(6, 5)$ ⁠, $(5, 6)$ ⁠, $(9, 5)$ ⁠, $(5, 9)$ ⁠.
$|A| = 6$
Obliczamy prawdopodobieństwo z definicji klasycznej.
$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{6}{64}$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$P(A) = \frac{6}{64}$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia $A$ i uzyskanie poprawnego wyniku: $P(A) = \frac{6}{64}$ ⁠.
1 pktwypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych zdarzeń: $|\Omega| = 8 \cdot 8$ lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub sporządzenie pełnego drzewa stochastycznegoALBO– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ i niewypisanie żadnego niewłaściwego: $(3, 5)$ ⁠, $(5, 3)$ ⁠, $(6, 5)$ ⁠, $(5, 6)$ ⁠, $(5, 9)$ ⁠, $(9, 5)$ ⁠,ALBO– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ ⁠: $|A| = 6$ ⁠, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,ALBO– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie sprzyjające zdarzeniu $A$ oraz zapisanie prawdopodobieństwa $\frac{1}{8}$ na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,ALBO– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): $\frac{1}{64}$ ⁠,ALBO– zapisanie tylko $P(A) = \frac{6}{64}$ ⁠.

Tabela $8 \times 8$ (pierwsza liczba w wierszach, druga w kolumnach) z zaznaczonymi polami iloczynów podzielnych przez $15$ — zaznaczonych pól jest $6$ ⁠, wszystkich $64$ ⁠.
Fragment drzewa stochastycznego z gałęziami sprzyjającymi zdarzeniu $A$ ⁠, każda o prawdopodobieństwie $\frac{1}{8}$ ⁠, więc $P(A) = 6 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}$ ⁠.

Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby $6$ lub $64$ i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom podstawowy, zadanie 30