Zadanie 26 · 4 pkt · otwarte

Objętość i pole ostrosłupa z wysokości ściany bocznej nachylonej pod kątem 30°

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘30^\circ i ma długość równą 66 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Oznaczmy (jak w zasadach CKE): aa — długość krawędzi podstawy, HH — wysokość ostrosłupa, SS — wierzchołek, OO — środek podstawy, EE — środek krawędzi podstawy, do którego biegnie wysokość ściany bocznej o długości 66⁠. Trójkąt SOESOE jest prostokątny, a kąt przy EE ma 30∘30^\circ⁠.

    ∣OE∣=12a,∣SE∣=6|OE| = \dfrac{1}{2}a, \qquad |SE| = 6

  2. Wysokość ostrosłupa obliczamy z sinusa kąta 30∘30^\circ⁠.

    H=6⋅sin⁡30∘=6⋅12=3H = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3

    Do tego miejsca: 1 pkt

  3. Połowę krawędzi podstawy obliczamy z cosinusa kąta 30∘30^\circ⁠.

    12a=6⋅cos⁡30∘=33\dfrac{1}{2}a = 6 \cdot \cos 30^\circ = 3\sqrt{3}

  4. Krawędź podstawy:

    a=2⋅33=63a = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

    Do tego miejsca: 2 pkt

  5. Pole podstawy (kwadratu):

    Pp=(63)2=108P_p = \left(6\sqrt{3}\right)^2 = 108

  6. Objętość ostrosłupa:

    V=13⋅108⋅3=108V = \dfrac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108

    Do tego miejsca: 3 pkt

  7. Pole jednej ściany bocznej (trójkąta o podstawie aa i wysokości 66⁠):

    P△=12⋅63⋅6=183P_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}

  8. Pole powierzchni całkowitej to pole podstawy i czterech ścian bocznych.

    Pc=108+4⋅183P_c = 108 + 4 \cdot 18\sqrt{3}

  9. Mnożymy: 4⋅183=7234 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3}⁠.

    Pc=108+723P_c = 108 + 72\sqrt{3}

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

V=108V = 108 i Pc=108+723P_c = 108 + 72\sqrt{3}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktpoprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz poprawne wyniki: V=108V = 108 i Pc=108+723P_c = 108 + 72\sqrt{3}⁠.
  • 3 pktobliczenie objętości ostrosłupa: V=108V = 108ALBO– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc=108+723P_c = 108 + 72\sqrt{3} oraz obliczenie wysokości ostrosłupa: H=3H = 3⁠.
  • 2 pktobliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: a=63a = 6\sqrt{3} oraz obliczenie wysokości ostrosłupa: H=3H = 3ALBO– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc=108+723P_c = 108 + 72\sqrt{3}⁠.
  • 1 pktobliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: a=63a = 6\sqrt{3}ALBO– obliczenie wysokości ostrosłupa: H=3H = 3⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt ESOESO lub BSDBSD⁠, lub jedna ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości krawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do uzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).
  • 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznejb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasac) zastosowanie niepoprawnej tożsamości x2+y2=x+y\sqrt{x^2 + y^2} = x + yd) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 333\sqrt{3} i ∣OE∣=3|OE| = 3⁠,i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–d), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom podstawowy, zadanie 26