Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n ≥ 1 i n ≤ 30. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Zadanie 31.2 · 2 pkt · otwarte

Dzień z największą liczbą klientów apteki

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$ -tego dnia opisuje funkcja

$L(n) = -n^2 + 22n + 279$

gdzie $n$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $n \ge 1$ i $n \le 30$ ⁠.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

$L(n) = -n^2 + 22n + 279$ to funkcja kwadratowa o współczynniku przy $n^2$ ujemnym, więc jej wykres to punkty paraboli o ramionach skierowanych w dół; największą wartość $L$ przyjmuje w wierzchołku, jeśli należy on do dziedziny.
$a = -1, \quad b = 22$
Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa $11$ ⁠, a $11$ jest liczbą naturalną z przedziału $[1, 30]$ ⁠.
$p = \dfrac{-22}{2 \cdot (-1)} = 11$
Do tego miejsca: 1 pkt
Obliczamy liczbę klientów obsłużonych jedenastego dnia.
$L(11) = -11^2 + 22 \cdot 11 + 279$
$-121 + 242 + 279 = 400$ ⁠.
$L(11) = 400$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$11$ i $400$ (jedenastego dnia obsłużono $400$ klientów).

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktpoprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: $11$ i $400$ ⁠.
1 pktwyznaczenie postaci kanonicznej funkcji $L$ ⁠: $L(n) = -(n - 11)^2 + 400$ ALBO– obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów lub obliczenie największej liczby klientów: $11$ lub $400$ ⁠,ALBO– obliczenie pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli z własności $L(k_1) = L(k_2)$ ⁠, gdzie $k_1$ ⁠, $k_2$ są różnymi liczbami takimi, że $|p - k_1| = |p - k_2|$ ⁠: $p = \frac{k_1 + k_2}{2} = 11$

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

Postać kanoniczna: $L(n) = -(n - 11)^2 + 400$ ⁠, więc wierzchołek paraboli to $W = (11, 400)$ ⁠.
Obliczenie kolejnych wartości $L(9) = 396$ ⁠, $L(10) = 399$ ⁠, $L(11) = 400$ ⁠, $L(12) = 399$ ⁠; z $L(10) = L(12)$ wynika $p = \frac{10 + 12}{2} = 11$ ⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do dziedziny).
2. Jeżeli zdający nie zapisze, że $11$ należy do dziedziny funkcji $L$ ⁠, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji $L$ ⁠, korzystając z rachunku różniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji $L(x)$ określoną dla $x \in [1, 30]$ ⁠, obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji $L(x)$ i wartość funkcji $L$ w tym punkcie).
4. Jeżeli zdający oblicza $L(11) = 400$ i $L(11 - k) = L(11 + k)$ ⁠, gdzie $k \neq 0$ ⁠, i wskaże wartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający zapisze tylko $L(11) = 400$ ⁠, to otrzymuje 1 punkt.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom podstawowy, zadanie 31.2