Zadanie 17 · 2 pkt · otwarte

Pierwsza rata pożyczki 8910 zł spłaconej w 18 ratach

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o $18$ wyrazach i różnicy $r = -30$ ⁠; $a_1$ to pierwsza rata, a sumę wszystkich rat opisuje wzór na sumę dla $n = 18$ ⁠.
$S_{18} = \dfrac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18$
Podstawiamy sumę wszystkich rat $8910$ i wyznaczamy sumę pierwszej i ostatniej raty.
$\begin{aligned} &\dfrac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = 8910, \\ &\text{więc } a_1 + a_{18} = 8910 : 9 = 990 \end{aligned}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Ostatnia rata jest o $17 \cdot 30$ zł mniejsza od pierwszej.
$a_{18} = a_1 + 17r = a_1 - 510$
Podstawiamy $a_{18}$ do sumy pierwszej i ostatniej raty.
$a_1 + a_1 - 510 = 990$
Wyznaczamy pierwszą ratę.
$2a_1 = 1500 \;\Rightarrow\; a_1 = 750$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Pierwsza rata była równa $750$ zł.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: $750$ zł.
1 pktzastosowanie wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisanie równania z niewiadomą $a_1$ (pierwszą ratą): $\frac{2a_1 + 17 \cdot (-30)}{2} \cdot 18 = 8910$ ALBO– zastosowanie wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegooraz zapisanie równania z niewiadomą $a_1$ ⁠: $\frac{2a_1 + 17 \cdot 30}{2} \cdot 18 = 8910$ i zapisanie, że $a_1$ jest ostatnią ratą,ALBO– zapisanie równania $a_1 + (a_1 - 30) + (a_1 - 2 \cdot 30) + (a_1 - 3 \cdot 30) + \cdots + (a_1 - 17 \cdot 30) = 8910$ ⁠, gdzie $a_1$ jest pierwszą ratą, lub równania $a_1 + (a_1 + 30) + (a_1 + 2 \cdot 30) + (a_1 + 3 \cdot 30) + \cdots + (a_1 + 17 \cdot 30) = 8910$ (łącznie z zapisem, że $a_1$ jest ostatnią ratą),ALBO– zapisanie zależności między pierwszą $(a_1)$ i ostatnią ratą $(a_{18})$ ⁠, np. $a_1 + a_{18} = 8910 : 9$ albo $a_{18} = a_1 - 17 \cdot 30$ itp.,ALBO– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy $(-30)$ lub $30$ i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np. $(x, x - 30, x - 60, \ldots, x - 510)$ dla dowolnego $x$ (np. jak w sposobie V),ALBO– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np. $\frac{a_9 + a_{10}}{2} = 495$ i $a_{10} = a_9 - 30$ ⁠.

Ze wzoru $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$ otrzymujemy $\frac{2a_1 + 17 \cdot (-30)}{2} \cdot 18 = 8910$ ⁠, czyli $9(2a_1 - 510) = 8910$ ⁠, skąd $a_1 = 750$ ⁠.
Raty liczone od końca tworzą ciąg o różnicy $30$ ⁠; z $\frac{2a_1 + 17 \cdot 30}{2} \cdot 18 = 8910$ ostatnia rata jest równa $240$ zł, a pierwsza $240 + 17 \cdot 30 = 750$ zł.
Zapis $a_1 + (a_1 - 30) + (a_1 - 60) + \ldots + (a_1 - 510) = 8910$ ⁠, czyli $18a_1 - 4590 = 8910$ ⁠.
Próba z pierwszą ratą $1000$ zł: suma rat $13\,410$ zł jest o $4500$ zł za duża, więc każdą ratę zmniejszamy o $4500 : 18 = 250$ zł.
Układ dla dziewiątej i dziesiątej raty: $(a_9 + a_{10}) \cdot 9 = 8910$ i $a_{10} = a_9 - 30$ ⁠, skąd $a_9 = 510$ i $a_1 = a_9 - 8 \cdot (-30) = 750$ ⁠.

1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko $750$ zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy $r = 30$ ⁠, obliczy $a_1 = 240$ i nie interpretuje $a_1$ jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę $8910$ jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom podstawowy, zadanie 17