Podzielność liczby (2n + 1)² − 1 przez 8

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 2 pktprzekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci iloczynu $4n(n + 1)$ oraz stwierdzenie, że iloczyn $n(n + 1)$ jest liczbą parzystąlub przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $4(n^2 + n)$ i uzasadnienie, że suma $n^2 + n$ jest liczbą parzystąALBO– przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $2n(2n + 2)$ oraz stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą podzielną przez $4$⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2l$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠), tj. przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $8l(2l + 1)$ i zapisanie, że iloczyn $l(2l + 1)$ jest liczbą naturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2l + 1$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠),tj. przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $8(2l^2 + 3l + 1)$ i zapisanie, że suma $2l^2 + 3l + 1$ jest liczbą naturalną/całkowitą.
• 1 pktprzekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $4n(n + 1)$ lub $4(n^2 + n)$⁠, lub $2n(2n + 2)$ALBO– przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $4n^2 + 4n$ i stwierdzenie, że ta suma jest liczbą podzielną przez $4$⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2l$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠), tj. przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $8l(2l + 1)$ i zapisanie, że iloczyn $l(2l + 1)$ jest liczbą naturalną/całkowitą,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 2l + 1$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠), tj. przekształcenie wyrażenia $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci $8(2l^2 + 3l + 1)$ i zapisanie, że suma $2l^2 + 3l + 1$ jest liczbą naturalną/całkowitą.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Zapis $(2n + 1)^2 - 1 = 4(n^2 + n)$ i rozpatrzenie parzystości: dla $n$ nieparzystego $n^2 + n$ jest sumą dwóch liczb nieparzystych, dla $n$ parzystego — dwóch parzystych, więc w obu przypadkach jest parzysta.
• Wzór na różnicę kwadratów: $(2n + 1)^2 - 1 = 2n \cdot (2n + 2)$ — iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, z których jedna jest podzielna przez $4$⁠, więc iloczyn dzieli się przez $2 \cdot 4 = 8$⁠.
• Rozpatrzenie przypadków: dla $n = 2l$ liczba $(2n + 1)^2 - 1$ jest równa $8l(2l + 1)$⁠, a dla $n = 2l + 1$ jest równa $8(2l^2 + 3l + 1)$⁠, gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający przyjmuje np. $n = 8k + r$⁠, gdzie $k \in \mathbb{N}$ i $r$ jest resztą z dzielenia liczby $n$ przez $8$⁠, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki $n = 2l$ oraz $n = 2l + 1$ (gdzie $l \in \mathbb{N}$⁠) i przekształca wyrażenie $(2n + 1)^2 - 1$ do postaci, odpowiednio, $8l(2l + 1)$ oraz $2l^2 + 3l + 1$⁠, ale nie zapisze, że $8l(2l + 1)$ oraz $2l^2 + 3l + 1$ są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.