Pola części trójkąta ACE w kwadracie o boku a

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $P_{AGF} = \frac{1}{12}a^2$ i $P_{CEFG} = \frac{1}{6}a^2$⁠.
• 3 pktobliczenie pola trójkąta $AGF$⁠: $P_{AGF} = \frac{1}{12}a^2$ALBO– obliczenie pola czworokąta $CEFG$⁠: $P_{CEFG} = \frac{1}{6}a^2$⁠.
• 2 pktobliczenie długości jednego z odcinków $FG$⁠, $DF$⁠, $AF$⁠, $FE$⁠, $BF$⁠:$|FG| = \frac{a\sqrt{2}}{6}$⁠, $|DF| = \frac{a\sqrt{2}}{3}$⁠, $|AF| = \frac{a\sqrt{5}}{3}$⁠, $|FE| = \frac{a\sqrt{5}}{6}$⁠, $|BF| = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$ALBO– zapisanie, że trójkąty $AGF$ i $FDE$ mają równe pola oraz zapisanie związku między polami trójkątów $AFD$ i $EFG$⁠: $P_{AFD} = 4 \cdot P_{EFG}$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąty $AGF$ i $FDE$ mają równe pola oraz zapisanie związku między polami trójkątów $ADF$ i $EDF$⁠: $P_{AFD} = 2 \cdot P_{EDF}$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąty $AFD$ i $BEF$ mają równe pola oraz zapisanie związku między polami trójkątów $ABF$ i $EDF$⁠: $P_{ABF} = 4 \cdot P_{EDF}$⁠,ALBO– zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć pole trójkąta $AGF$⁠, np.: $x + y = \frac{1}{8}a^2$ oraz $x + 4y = \frac{1}{4}a^2$⁠, gdzie $x = P_{AGF} = P_{FDE}$⁠, $y = P_{EFG}$⁠,ALBO– obliczenie współrzędnych punktów $E$ i $F$⁠: $E = \left(\frac{1}{2}a, a\right)$ oraz $F = \left(\frac{1}{3}a, \frac{2}{3}a\right)$⁠,ALBO– narysowanie kwadratu $ABCD$ na siatce kwadratowej 12 x 12 oraz wyznaczenie pól trójkątów $ABF$ i $ABG$⁠: $P_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot 12m \cdot 8m$ oraz $P_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot 12m \cdot 6m$⁠, gdzie $m = \frac{1}{12}a$⁠.
• 1 pktzapisanie wraz z uzasadnieniem, że $|DF| : |FG| = 2 : 1$ALBO– zapisanie wraz z uzasadnieniem, że $|AF| : |FE| = 2 : 1$⁠,ALBO– zapisanie wraz z uzasadnieniem, że $|BF| : |FD| = 2 : 1$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąt $ABF$ jest podobny do trójkąta $EDF$ w skali $2 : 1$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąt $AFD$ jest podobny do trójkąta $EFG$ w skali $2 : 1$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąt $AFG$ jest podobny do trójkąta $AEQ$ w skali $2 : 3$⁠, gdzie $Q$ to rzut prostokątny punktu $E$ na przekątną $AC$⁠,ALBO– obliczenie długości odcinka $AG$ i dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta $EAC$⁠, np. $|AG| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ oraz $\cos\measuredangle EAC = \frac{3\sqrt{10}}{10}$⁠,ALBO– zapisanie, że trójkąty $AGF$ i $FDE$ (lub $AFD$ i $BEF$⁠) mają równe pola,ALBO– umieszczenie kwadratu $ABCD$ w układzie współrzędnych oraz wyznaczenie równań prostych $AE$ i $BD$⁠, np. $y = 2x$ oraz $y = -x + a$⁠,ALBO– narysowanie kwadratu $ABCD$ na siatce kwadratowej 12 x 12.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Środek ciężkości: $F$ jest punktem przecięcia środkowych $DG$ i $AE$ trójkąta $ACD$⁠, więc $|DF| : |FG| = 2 : 1$ i $P_{AGF} = \frac{1}{3} \cdot P_{AGD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}a^2 = \frac{1}{12}a^2$⁠.
• Twierdzenie o dwusiecznej w trójkącie $ADE$ (przekątna $DB$ dzieli kąt $ADE$ na połowy): $\frac{|AF|}{|FE|} = \frac{|AD|}{|DE|} = 2$⁠, skąd $|AF| = \frac{\sqrt{5}a}{3}$⁠, $|FG| = \frac{\sqrt{2}a}{6}$ albo stosunki pól $P_{ADF} = 2 \cdot P_{FDE}$ i $P_{ADE} = \frac{1}{4}a^2$⁠.
• Trójkąty $AFG$ i $AEQ$⁠, gdzie $Q$ to punkt przecięcia przekątnej $AC$ z odcinkiem łączącym $E$ ze środkiem boku $BC$⁠, są podobne w skali $\frac{|AG|}{|AQ|} = \frac{2}{3}$⁠, więc $P_{AGF} = \frac{4}{9} \cdot P_{AQE} = \frac{1}{12}a^2$⁠.
• W trapezie $ADEG$ oznaczamy $x = P_{AGF} = P_{FDE}$ i $y = P_{EFG}$⁠; wtedy $P_{AFD} = 4y$⁠, więc $x + y = \frac{1}{8}a^2$ i $x + 4y = \frac{1}{4}a^2$⁠, czyli $y = \frac{1}{24}a^2$⁠, $x = \frac{1}{12}a^2$⁠, $P_{CEFG} = x + 2y$⁠.
• W układzie współrzędnych z $A = (0, 0)$⁠, $B = (a, 0)$⁠, $C = (a, a)$⁠, $D = (0, a)$ proste $AE$ i $BD$ mają równania $y = 2x$ i $y = -x + a$⁠, więc $F = \left(\frac{1}{3}a, \frac{2}{3}a\right)$⁠, a pole trójkąta $AGF$ liczymy z wyznacznika.
• Na siatce $12 \times 12$ kwadratów o boku $m = \frac{1}{12}a$ pole $P_{AGF} = P_{ABF} - P_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot 12m \cdot 8m - \frac{1}{2} \cdot 12m \cdot 6m = 12m^2$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający popełnia błąd, przyjmując, że punkt $F$ dzieli odcinek $AE$ lub $DG$⁠, lub $BD$ w stosunku innym niż $2 : 1$⁠, i na tym opiera rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający przyjmuje, że punkt $F$ dzieli odcinek $AE$ lub $DG$⁠, lub $BD$ w poprawnym stosunku $2 : 1$ bez uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (brak uzasadnienia traktujemy na równi z błędem rachunkowym).
• 3. Jeżeli zdający popełnia błąd, przyjmując, że miara kąta $DAE$ jest równa $30^\circ$ (lub miara kąta $DEA$ jest równa $60^\circ$⁠) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.