Zadanie 4 · 3 pkt · otwarte

Współczynniki stycznej do wykresu funkcji wymiernej

Funkcja ff jest określona wzorem

f(x)=x3−3x+2xf(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej xx różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkt PP⁠, o pierwszej współrzędnej równej 22⁠, należy do wykresu funkcji ff⁠.

Prosta o równaniu y=ax+by = ax + b jest styczna do wykresu funkcji ff w punkcie PP⁠.

Oblicz współczynniki aa oraz bb w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu dla licznika x3−3x+2x^3 - 3x + 2 i mianownika xx⁠.

    f′(x)=(3x2−3)⋅x−(x3−3x+2)x2f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 3) \cdot x - (x^3 - 3x + 2)}{x^2}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Upraszczamy licznik.

    f′(x)=2x3−2x2f'(x) = \dfrac{2x^3 - 2}{x^2}

  3. Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie x=2x = 2⁠.

    a=f′(2)=16−24=72a = f'(2) = \dfrac{16 - 2}{4} = \dfrac{7}{2}

    Do tego miejsca: 2 pkt

  4. Obliczamy drugą współrzędną punktu PP⁠.

    f(2)=8−6+22=2f(2) = \dfrac{8 - 6 + 2}{2} = 2

  5. Styczna y=72x+by = \frac{7}{2}x + b przechodzi przez punkt P=(2,2)P = (2, 2)⁠.

    2=72⋅2+b  ⇒  b=−52 = \dfrac{7}{2} \cdot 2 + b \;\Rightarrow\; b = -5

    Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

a=72a = \frac{7}{2} oraz b=−5b = -5⁠.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: a=72a = \frac{7}{2} oraz b=−5b = -5⁠.
  • 2 pktobliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji ff w punkcie PP⁠: a=f′(2)=72a = f'(2) = \frac{7}{2}⁠.
  • 1 pktwyznaczenie pochodnej funkcji ff⁠, np. f′(x)=(3x2−3)⋅x−(x3−3x+2)⋅1x2f'(x) = \frac{(3x^2 - 3) \cdot x - (x^3 - 3x + 2) \cdot 1}{x^2}⁠, f′(x)=2x+2⋅(−1x2)f'(x) = 2x + 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Pochodna sumy zamiast pochodnej ilorazu: f(x)=x2−3+2xf(x) = x^2 - 3 + \frac{2}{x}⁠, więc f′(x)=2x+2⋅(−1x2)f'(x) = 2x + 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) i f′(2)=4−12=72f'(2) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy pochodną funkcji y=x3−3x+2y = x^3 - 3x + 2⁠, lub y=xy = x⁠, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika aa oraz bb⁠.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 4