Zadanie 11 · 5 pkt · otwarte

Środek okręgu z dwiema stycznymi z punktu A = (1, 2)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) środek SS okręgu o promieniu 5\sqrt{5} leży na prostej o równaniu y=x+1y = x + 1⁠. Przez punkt A=(1,2)A = (1, 2)⁠, którego odległość od punktu SS jest większa od 5\sqrt{5}⁠, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – BB i CC⁠. Pole czworokąta ABSCABSC jest równe 1515⁠.

Oblicz współrzędne punktu SS⁠. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Promienie SBSB i SCSC są prostopadłe do stycznych, a odcinki stycznych są równe: m=∣AB∣=∣AC∣m = |AB| = |AC|⁠. Czworokąt ABSCABSC składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych ABSABS i ACSACS⁠.

    15=2⋅12⋅m⋅5=m515 = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot \sqrt{5} = m\sqrt{5}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Obliczamy długość odcinka stycznej.

    m=155=35,m2=45m = \dfrac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}, \quad m^2 = 45

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABSABS⁠.

    ∣AS∣2=m2+∣BS∣2=45+5=50|AS|^2 = m^2 + |BS|^2 = 45 + 5 = 50

  4. Środek SS leży na prostej y=x+1y = x + 1⁠, więc S=(xS,xS+1)S = (x_S, x_S + 1) i ∣AS∣2=(xS−1)2+(xS+1−2)2|AS|^2 = (x_S - 1)^2 + (x_S + 1 - 2)^2⁠.

    2(xS−1)2=50  ⇒  (xS−1)2=252(x_S - 1)^2 = 50 \;\Rightarrow\; (x_S - 1)^2 = 25

    Do tego miejsca: 3 pkt

  5. Rozwiązujemy równanie.

    ∣xS−1∣=5  ⇒  xS=6  ∨  xS=−4|x_S - 1| = 5 \;\Rightarrow\; x_S = 6 \;\vee\; x_S = -4

    Do tego miejsca: 4 pkt

  6. Obliczamy drugie współrzędne z yS=xS+1y_S = x_S + 1⁠. W obu przypadkach ∣AS∣=52>5|AS| = 5\sqrt{2} > \sqrt{5}⁠, więc oba punkty spełniają warunki zadania.

    S=(6,7)  ∨  S=(−4,−3)S = (6, 7) \;\vee\; S = (-4, -3)

    Do tego miejsca: 5 pkt

Odpowiedź

S=(6,7)S = (6, 7) oraz S=(−4,−3)S = (-4, -3)⁠.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 5 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: S=(6,7)S = (6, 7) oraz S=(−4,−3)S = (-4, -3)⁠.
  • 4 pktobliczenie obydwu wartości xSx_S⁠: 66 oraz (−4)(-4)ALBO– obliczenie obydwu współrzędnych punktu SS tylko dla jednego przypadku: S=(6,7)S = (6, 7) albo S=(−4,−3)S = (-4, -3)⁠.
  • 3 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu SS⁠), np.(xS−1)2+(xS+1−2)2=50(x_S - 1)^2 + (x_S + 1 - 2)^2 = 50⁠, ∣2xS−(xS+1)∣22+(−1)2=5\frac{|2x_S - (x_S + 1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}⁠,(xS−(−5))2+(xS+1−(−1))2=5(x_S - (-5))^2 + (x_S + 1 - (-1))^2 = 5⁠,(xS−(−2))2+(xS+1−(−4))2=5(x_S - (-2))^2 + (x_S + 1 - (-4))^2 = 5⁠,(xS−4)2+(xS+1−8)2=5(x_S - 4)^2 + (x_S + 1 - 8)^2 = 5⁠,(xS−7)2+(xS+1−5)2=5(x_S - 7)^2 + (x_S + 1 - 5)^2 = 5⁠.
  • 2 pktobliczenie długości mm odcinka ABAB (lub ACAC⁠) stycznej: 353\sqrt{5}ALBO– obliczenie długości odcinka ASAS⁠: ∣AS∣=52|AS| = 5\sqrt{2}⁠.
  • 1 pktzapisanie współrzędnych punktu SS w zależności od jednej zmiennej, np. S=(x,x+1)S = (x, x + 1)ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością mm odcinka ABAB stycznej), np. 15=2⋅12⋅m⋅515 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot \sqrt{5}⁠,ALBO– zapisanie układ trzech równań:∣z∣2=m2+m2−2m⋅m⋅cos⁡α|z|^2 = m^2 + m^2 - 2m \cdot m \cdot \cos\alpha oraz∣z∣2=(5)2+(5)2−25⋅5⋅cos⁡(180∘−α)|z|^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(180^\circ - \alpha) oraz15=12⋅m2⋅sin⁡α+12⋅(5)2⋅sin⁡(180∘−α)15 = \frac{1}{2} \cdot m^2 \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^2 \cdot \sin(180^\circ - \alpha)⁠,gdzie z=∣BC∣z = |BC|⁠, m=∣AB∣m = |AB|⁠, α=∣∡BAC∣\alpha = |\measuredangle BAC|⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Przez równania stycznych: punkt AA leży na prostej y=x+1y = x + 1⁠, a tangens kąta między każdą styczną a prostą ASAS jest równy 5m=13\frac{\sqrt{5}}{m} = \frac{1}{3}⁠, więc styczne mają równania 2x−y=02x - y = 0 i x−2y+3=0x - 2y + 3 = 0⁠; odległość punktu S=(xS,xS+1)S = (x_S, x_S + 1) od stycznej 2x−y=02x - y = 0 jest równa 5\sqrt{5}⁠, czyli ∣2xS−(xS+1)∣22+(−1)2=5\frac{|2x_S - (x_S + 1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}⁠, skąd ∣xS−1∣=5|x_S - 1| = 5⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik 12\frac{1}{2} we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.
  • 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty SS⁠, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 11