Parametr m a suma sześcianów rozwiązań równania kwadratowego

Jak to jest punktowane

W każdym etapie liczy się najwyższy poziom, który rozwiązanie spełnia; punkty za etapy się sumują.

Etap I

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności $\Delta > 0$⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

• 1 pktpoprawne rozwiązanie nierówności $\Delta > 0$⁠: $m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$⁠.

Etap II

Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru $m$⁠, dla których jest spełniony warunek $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.Podział punktów za drugi etap rozwiązania:

• 4 pktrozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą $m$ równoważnej warunkowi $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$⁠: $m \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$⁠.
• 3 pktzapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$ równoważnej warunkowi $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ w postaci $W(m) \le 0$⁠, gdzie $W(m)$ jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. $(3m - 1)(3m + 1)^2 \le 0$⁠, $(9m^2 - 1)(3m + 1) \le 0$⁠, $27\left(m - \frac{1}{3}\right)\left(m + \frac{1}{3}\right)^2 \le 0$ALBO– zapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$ równoważnej warunkowi $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ w postaci $27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \le 0$ oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu $27m^3 + 9m^2 - 3m - 1$⁠.
• 2 pktzapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$ równoważnej warunkowi $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$⁠, np. $(3m + 1)^3 - 9 \cdot (2m^2 + m + 1) \le 3m - 7$⁠.
• 1 pktprzekształcenie nierówności $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. $(x_1 + x_2)^3 - 9x_1x_2 \le 3m - 7$⁠.

Etap III

Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru $m$⁠, które spełniają jednocześnie dwa warunki: $\Delta > 0$ i $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$⁠: $m \in (-\infty, -3)$⁠.Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

• 1 pktpoprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru $m$⁠, które spełniają jednocześnie warunki $\Delta > 0$ i $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$⁠: $m \in (-\infty, -3)$⁠.

Łącznie 6 pkt

Uwagi z zasad oceniania CKE

• Jeżeli zdający rozwiązuje warunek $\Delta \ge 0$⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
• 1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III etap otrzymuje 0 punktów.
• 2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap może otrzymać 1 punkt.
• 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd – przyjmie, że $x_1 + x_2 = \pm(2m^2 + m + 1)$ lub $x_1 \cdot x_2 = \pm(3m + 1)$⁠, lub $x_1 + x_2 = \pm\frac{b}{2a}$⁠, to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.
• 4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:• pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności $x_1^3 + x_2^3 + 3 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2 - 3) \le 3m - 7$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,• przyjmie, że$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - x_1 \cdot x_2]$⁠,• przyjmie, że$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3$⁠,i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.
• 5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność $V(m) \le 0$⁠, to za podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian $V$ jest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
• 6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania (np. $x_1 + x_2 > 0$⁠, $x_1 \cdot x_2 > 0$⁠), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).