Najmniejsze pole powierzchni graniastosłupa dla krawędzi podstawy z przedziału (0, 8√3]

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktuzasadnienie, że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ i obliczenie wartości najmniejszej funkcji $P$⁠: $96\sqrt{3} + 1728$⁠.
• 3 pktuzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ALBO– zapisanie, że dla $a = 8\sqrt{3}$ funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą i obliczenie $P(8\sqrt{3})$⁠: $P(8\sqrt{3}) = 96\sqrt{3} + 1728$⁠.
• 2 pktpoprawne rozwiązanie równania $a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2} = 0$⁠: $a = 24$⁠.
• 1 pktwyznaczenie pochodnej funkcji $P$⁠: $P'(a) = a\sqrt{3} - \frac{13824\sqrt{3}}{a^2}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji $P$ z błędem, ale wyznaczona pochodna ma postać $Aa + \frac{B}{a^2}$⁠, gdzie $A$ oraz $B$ są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka, w którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku $ma^2$⁠, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji $P$⁠).Jeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej oraz za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji $P$⁠).
• 2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-” znak pochodnej.
• 3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału $(0, 8\sqrt{3})$⁠, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).
• 4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą dla $a = 8\sqrt{3}$ można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub graficznie, że funkcja $P$ jest malejąca w przedziale $(0, a_0)$⁠, gdzie $a_0$ jest miejscem zerowym pochodnej funkcji $f$⁠, będącej rozszerzeniem funkcji $P$ na zbiór $(0, +\infty)$⁠.
• 5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla $a = 8\sqrt{3}$ funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie $P(8\sqrt{3})$⁠.