Pole powierzchni graniastosłupa jako funkcja krawędzi podstawy

Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$⁠; oznaczamy wysokość graniastosłupa przez $H$ i korzystamy ze wzoru na objętość.

   $$3456 = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$$

2. Wyznaczamy wysokość w zależności od $a$⁠.

   $$H = \dfrac{4 \cdot 3456}{a^2\sqrt{3}} = \dfrac{13824}{a^2\sqrt{3}}$$

   Do tego miejsca: 1 pkt

3. Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i trzy prostokątne ściany boczne o bokach $a$ i $H$⁠.

   $$P = 2 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3aH$$

4. Podstawiamy $H$ i usuwamy niewymierność z mianownika: $\frac{3 \cdot 13824}{\sqrt{3}} = 13824\sqrt{3}$⁠.

   $$3aH = 3a \cdot \dfrac{13824}{a^2\sqrt{3}} = \dfrac{13824\sqrt{3}}{a}$$

5. Otrzymujemy wzór funkcji $P$⁠.

   $$P(a) = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \dfrac{13824\sqrt{3}}{a}$$

   Do tego miejsca: 2 pkt