Zadanie 3 · 3 pkt · otwarte

Opakowania śmietany z mniejszą zawartością tłuszczu w kontroli 10 opakowań

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe $0{,}01$ ⁠. Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Próbą jest sprawdzenie jednego opakowania, a sukcesem — trafienie na śmietanę, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu.
$p = 0{,}01, \quad q = 1 - p = 0{,}99$
Do tego miejsca: 1 pkt
Opakowania są wybierane losowo, więc mamy $10$ prób Bernoullego. Niech $S_{10}^k$ oznacza dokładnie $k$ sukcesów; „co najwyżej jedno” to $k = 0$ albo $k = 1$ ⁠.
$P = P(S_{10}^0) + P(S_{10}^1)$
Prawdopodobieństwa zera i jednego sukcesu to $\binom{10}{0} \cdot (0{,}99)^{10}$ oraz $\binom{10}{1} \cdot 0{,}01 \cdot (0{,}99)^9$ ⁠; dodajemy je ( $10 \cdot 0{,}01 = 0{,}1$ ⁠) i wyłączamy $(0{,}99)^9$ przed nawias.
$P = (0{,}99)^{10} + 0{,}1 \cdot (0{,}99)^9 = (0{,}99)^9 \cdot 1{,}09$
Do tego miejsca: 2 pkt
Obliczamy wartość i zaokrąglamy do części tysięcznych.
$P \approx 0{,}9135 \cdot 1{,}09 \approx 0{,}996$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

$P \approx 0{,}996$

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $0{,}996$ ⁠.
2 pktzapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu w dziesięciu próbach Bernoullego, np. $P = \binom{10}{0} \cdot (0{,}99)^{10} + \binom{10}{1} \cdot (0{,}01)^1 \cdot (0{,}99)^9$ ⁠, $P = (0{,}99)^{10} + 10 \cdot 0{,}01 \cdot (0{,}99)^9$
1 pktzapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu ( $p$ ⁠) i porażki ( $q$ ⁠) w pojedynczej próbie: $p = 0{,}01$ ⁠, $q = 0{,}99$ ALBO– zapisanie prawdopodobieństwa w postaci $q^{10} + 10p \cdot q^9$ ⁠, gdzie $p$ jest prawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, $q$ – porażki,ALBO– przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie odpowiadające sytuacji wylosowania dziesięciu opakowań ze śmietaną, która zawiera co najmniej 36% tłuszczu oraz odpowiadające sytuacji wylosowania dziesięciu opakowań, wśród których będzie dziewięć opakowań ze śmietaną, która zawiera co najmniej 36% tłuszczu i jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu,ALBO– przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą wylosowaniu dziesięciu opakowań, wśród których będzie dziewięć opakowań ze śmietaną, która zawiera co najmniej 36% tłuszczu i jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu oraz określenie na każdym odcinku gałęzi prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.

Uwagi z zasad oceniania CKE

1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa $P(S_{10}^0) = \binom{10}{0} \cdot (0{,}01)^0 \cdot (0{,}99)^{10}$ oraz $P(S_{10}^1) = \binom{10}{1} \cdot (0{,}01)^1 \cdot (0{,}99)^9$ ⁠, ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że $P = P(S_{10}^0) + P(S_{10}^1)$ ⁠, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje $p = 0{,}1$ oraz $q = 0{,}9$ (albo $p = 0{,}01$ i $q = 0{,}9$ ⁠) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmuje $p = 0{,}99$ i $q = 0{,}01$ ⁠, konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, lecz błędnie interpretuje wynik końcowy, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający nie określi sukcesu w pojedynczej próbie, ale z rozwiązania wynika, że poprawnie interpretuje warunki zadania, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 3