Zadanie 1 · 2 pkt · otwarte

Temperatura stygnącej kawy po kolejnych pięciu minutach

W chwili początkowej (t=0t = 0⁠) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80∘C80^\circ\mathrm{C}⁠. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała

i równa 20∘C20^\circ\mathrm{C}⁠. Temperatura TT tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

T(t)=(Tp−Tz)⋅k−t+TzT(t) = (T_p - T_z) \cdot k^{-t} + T_z dla t≥0t \ge 0

gdzie:

TT – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

tt – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,

TpT_p – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

TzT_z – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,

kk – stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po 1010 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65∘C65^\circ\mathrm{C}⁠.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Podstawiamy dane do wzoru: Tp=80T_p = 80⁠, Tz=20T_z = 20⁠, a dla t=10t = 10 temperatura jest równa 6565⁠.

    65=(80−20)⋅k−10+2065 = (80 - 20) \cdot k^{-10} + 20

  2. Wyznaczamy k−10k^{-10}⁠.

    k−10=4560=34k^{-10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  3. Następne pięć minut kończy się w chwili t=15t = 15⁠. Zapisujemy k−15k^{-15} przez k−10k^{-10}⁠, bo −15=1,5⋅(−10)-15 = 1{,}5 \cdot (-10)⁠.

    k−15=(k−10)1,5=(34)1,5k^{-15} = \left(k^{-10}\right)^{1{,}5} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{1{,}5}

  4. Potęga o wykładniku 1,51{,}5 to iloczyn liczby i jej pierwiastka kwadratowego.

    (34)1,5=34⋅32=338\left(\dfrac{3}{4}\right)^{1{,}5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}

  5. Obliczamy temperaturę po 1515 minutach.

    T(15)=60⋅338+20=4532+20T(15) = 60 \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{8} + 20 = \dfrac{45\sqrt{3}}{2} + 20

  6. Zaokrąglamy wynik do jedności.

    T(15)≈58,97≈59T(15) \approx 58{,}97 \approx 59

    Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Po następnych pięciu minutach temperatura kawy jest równa 59∘C59^\circ\mathrm{C} (w zaokrągleniu do jedności).

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 2 pktpoprawna metoda obliczenia temperatury kawy po 15 minutach oraz poprawny wynik zaokrąglony do jedności: 59∘C59^\circ\mathrm{C}⁠.
  • 1 pktobliczenie k−10k^{-10}⁠: 4560\frac{45}{60}⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Chwila t=10t = 10 jako nowa chwila początkowa: Tp=65T_p = 65⁠, Tz=20T_z = 20⁠, więc po pięciu minutach T(5)=45⋅(k−10)0,5+20=45⋅34+20=4532+20≈59T(5) = 45 \cdot \left(k^{-10}\right)^{0{,}5} + 20 = 45 \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} + 20 = \frac{45\sqrt{3}}{2} + 20 \approx 59⁠.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 1