Boki trójkąta, w którym jeden kąt jest dwa razy większy od drugiego

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktZasady oceniania (dla sposobów I–V)przeprowadzenie pełnego rozumowania.Zasady oceniania (dla sposobów VI–X)przeprowadzenie pełnego rozumowania.
• 3 pktZasady oceniania (dla sposobów I–V)zapisanie związków $\frac{|AD|}{x} = \frac{c}{a}$ oraz $\frac{x}{a} = \frac{a}{b}$ (dla sposobu I)ALBO– zapisanie związku $\frac{b}{a} = \frac{|EC|}{b}$ (dla sposobu II),ALBO– zapisanie związków $|AF| = a = r$ i $|AF| \cdot c = |AG|^2$ oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta $ACG$ (dla sposobu III),ALBO– zapisanie, że w czworokącie wypukłym wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych czworokąta jest sumą iloczynów długości przeciwległych boków tego czworokąta oraz zapisanie związku $|CH| = a$ (dla sposobu IV),ALBO– zapisanie związku $b^2 - \left(a + \frac{c - a}{2}\right)^2 = a^2 - \left(\frac{c - a}{2}\right)^2$ (dla sposobu V).Zasady oceniania (dla sposobów VI–X)wyznaczenie cosinusa kąta $BAC$ w zależności od długości boków trójkąta $ABC$ oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $ABC$ i zapisanie związku$a^2 = c^2 + b^2 - 2 \cdot c \cdot b \cdot \frac{b}{2 \cdot a}$ lub$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot [2 \cdot \left(\frac{b}{2 \cdot a}\right)^2 - 1]$ALBO– zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $ABC$ oraz zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równań$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot (2\cos^2\alpha - 1)$ oraz$a^2 = c^2 + b^2 - 2 \cdot c \cdot b \cdot \cos\alpha$ oraz$b = 2 \cdot a \cdot \cos\alpha$⁠,ALBO– przekształcenie stron równania $2 \cdot \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 - 1 = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ do postaci ilorazu wielomianów, z których każdy jest rozłożony do postaci iloczynowej, np.$\frac{(b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)}{2b^2c^2} = \frac{(a - c - b)(a - c + b)}{2ac}$ALBO– zastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wyrażenia $a^2 + c \cdot a$ w postaci $4R^2 \cdot \sin\alpha \cdot 2\sin(2\alpha) \cdot \cos\alpha$⁠,ALBO– wyznaczenie długości boku $BC$ w zależności od długości odcinków $AK$ (lub $BK$⁠) oraz $AB$ (w przypadku, gdy $K$ leży na odcinku $AB$⁠), np. $a^2 = (2z - c)^2$ (dla sposobu X).
• 2 pktZasady oceniania (dla sposobów I–V)zapisanie związku $\frac{|AD|}{x} = \frac{c}{a}$ (dla sposobu I)ALBO– zapisanie związku $\frac{x}{a} = \frac{a}{b}$ (dla sposobu I),ALBO– zapisanie, że trójkąty $EAC$ i $ABC$ są podobne (dla sposobu II),ALBO– zapisanie związków $|AF| = a = r$ oraz $|AF| \cdot c = |AG|^2$⁠, (dla sposobu III),ALBO– zapisanie, że w czworokącie wypukłym wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych czworokąta jest sumą iloczynów długości przeciwległych boków tego czworokąta (dla sposobu IV),ALBO– zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $AKC$ i $BKC$ oraz zapisanie równości$b^2 = \left(a + \frac{c - a}{2}\right)^2 + h^2$ oraz $a^2 = \left(\frac{c - a}{2}\right)^2 + h^2$(dla sposobu V).Zasady oceniania (dla sposobów VI–X)zapisanie związku między cosinusem kąta $BAC$ a długościami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$⁠, np. $\cos\alpha = \frac{b}{2 \cdot a}$ALBO– spełnienie kryteriów 1) i 3) zasad oceniania za 1 pkt,ALBO– spełnienie kryteriów 2) i 3) zasad oceniania za 1 pkt,ALBO– wyeliminowanie $\cos\alpha$ z układu równań podanego w kryterium 3) zasad oceniania za 1 pkt, np.$2\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 - 1 = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ALBO– zapisanie wyrażenia $a^2 + c \cdot a$ w zależności od $R$⁠, $\sin\alpha$ oraz $\sin(3\alpha)$⁠, np. $4R^2 \cdot \sin^2\alpha + 4R^2 \cdot \sin(3\alpha) \cdot \sin\alpha$⁠,ALBO– spełnienie kryterium 5) zasad oceniania za 1 pkt oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $AKC$ i $KBC$ oraz zapisanie związków $b^2 = |AK|^2 + |KC|^2$ oraz $a^2 = |KB|^2 + |KC|^2$ (dla sposobu X).
• 1 pktZasady oceniania (dla sposobów I–V)zapisanie, że trójkąty $CAB$ i $CBD$ są podobne (dla sposobu I)ALBO– zdefiniowanie na prostej $CB$ punktu $E$⁠, takiego że $|BE| = |AB| = c$ oraz $B$ należy do odcinka $CE$ (dla sposobu II),ALBO– zapisanie, że trójkąt $CFA$ jest równoramienny (dla sposobu III),ALBO– zapisanie związku $|AF| \cdot c = |AG|^2$ (dla sposobu III),ALBO– zdefiniowanie punktu $H$ jako takiego, że czworokąt $ABCH$ jest trapezem równoramiennym o ramionach $BC$ i $AH$ oraz zapisanie, że na tym trapezie można opisać okrąg (dla sposobu IV),ALBO– zdefiniowanie punktu $L$⁠, który jest obrazem punktu $B$ w symetrii względem prostej zawierającej wysokość $CK$ oraz zapisanie, że trójkąt $ALC$ jest równoramienny (dla sposobu V).Zasady oceniania (dla sposobów VI–X)spełnienie jednego z poniższych kryteriów 1)-5):1) zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta $ABC$ i zapisanie związku $\frac{b}{\sin(2\alpha)} = \frac{a}{\sin\alpha}$2) zastosowanie wzoru na pole trójkąta i zapisanie związku $\frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin\alpha$⁠,3) zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $ABC$ oraz zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równań$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot (2\cos^2\alpha - 1)$ oraz$a^2 = c^2 + b^2 - 2 \cdot c \cdot b \cdot \cos\alpha$⁠,4) zastosowanie twierdzenia sinusów i zapisanie $a^2 + c \cdot a$ jako $(2R \cdot \sin\alpha)^2 + 2R \cdot \sin|\measuredangle BCA| \cdot 2R \cdot \sin\alpha$⁠,5) poprowadzenie wysokości $CK$ w trójkącie $ABC$ oraz zastosowanie definicji tangensa kąta ostrego w trójkątach $AKC$ i $KBC$ oraz zastosowanie wzoru na tangens podwojonego kąta i uzyskanie zależności między długościami odcinków $AK$⁠, $BK$ i $CK$⁠, np. $\frac{h}{c - z} = \frac{2 \cdot \frac{h}{z}}{1 - \left(\frac{h}{z}\right)^2}$ (dla sposobu X).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$⁠; dla $x = |DC|$ trójkąty $CAB$ i $CBD$ są podobne, więc $\frac{x}{a} = \frac{a}{b}$⁠; z twierdzenia o dwusiecznej $\frac{|AD|}{x} = \frac{c}{a}$⁠, czyli $x = \frac{b \cdot a}{c + a}$⁠; stąd $b^2 = a^2 + c \cdot a$⁠.
• Okrąg o środku $C$ i promieniu $a$ przecina prostą $AB$ w punkcie $F$⁠, a $G$ jest punktem styczności stycznej poprowadzonej z $A$⁠; wtedy $|AF| = a$ (trójkąt $CFA$ jest równoramienny), $|AF| \cdot c = |AG|^2 = b^2 - a^2$⁠.
• Trapez równoramienny $ABCH$ o ramionach $BC$ i $AH$ jest wpisany w okrąg; z twierdzenia Ptolemeusza $|AC| \cdot |BH| = |BC| \cdot |AH| + |AB| \cdot |CH|$⁠, a $|CH| = |AH| = a$⁠, $|BH| = b$⁠.
• Wysokość $CK$ i punkt $L$ symetryczny do $B$ względem prostej $CK$ (dwa przypadki położenia $K$⁠): trójkąt $ALC$ jest równoramienny, $|AL| = a$⁠, i z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $AKC$ i $BKC$ otrzymujemy $b^2 - \left(a + \frac{c - a}{2}\right)^2 = a^2 - \left(\frac{c - a}{2}\right)^2$⁠.
• Trygonometria: z twierdzenia sinusów (albo porównania pól) $\cos\alpha = \frac{b}{2a}$⁠, a z twierdzenia cosinusów $a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos\alpha$⁠, więc $(a - c)(a + c)a = b^2(a - c)$ i $a \ne c$⁠, bo trójkąt nie jest równoramienny; także dwukrotne twierdzenie cosinusów z $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$⁠, wzór na sumę sinusów albo tangens podwojonego kąta w trójkątach $AKC$ i $KBC$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• Jeżeli w rozwiązaniu zdający wykorzystuje wysokość $CK$ trójkąta $ABC$ oraz przeprowadzi rozumowanie tylko w jednym przypadku (np. gdy $K$ leży między $A$ i $B$⁠) i nie stwierdzi, że w drugim przypadku (gdy $B$ leży między $K$ i $A$⁠) rozumowanie przebiega analogicznie, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; jeżeli natomiast takie stwierdzenie zapisze, to może otrzymać 4 punkty.