Równanie trygonometryczne z sin(4x) i sin(2x) w przedziale [0, 2π]

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 5 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{\pi}{6}$⁠, $\frac{\pi}{4}$⁠, $\frac{5\pi}{6}$⁠, $\frac{7\pi}{6}$⁠, $\frac{5\pi}{4}$⁠, $\frac{11\pi}{6}$⁠.
• 4 pktzapisanie alternatywy równań $\sin(2x) - 1 = 0$ lub $2\cos(2x) - 1 = 0$ oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze $[0, 2\pi]$ (lub obydwu w zbiorze $\mathbb{R}$⁠), np.$\frac{\pi}{4}$⁠, $\frac{5\pi}{4}$ (rozwiązania równania $\sin(2x) - 1 = 0$ w zbiorze $[0, 2\pi]$⁠),$\frac{\pi}{6}$⁠, $\frac{7\pi}{6}$⁠, $\frac{5\pi}{6}$⁠, $\frac{11\pi}{6}$ (rozwiązania równania $2\cos(2x) - 1 = 0$ w zbiorze $[0, 2\pi]$⁠),$\frac{\pi}{4} + k\pi$⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ (rozwiązania równania $\sin(2x) - 1 = 0$ w zbiorze $\mathbb{R}$⁠) oraz$\frac{\pi}{6} + k\pi$ lub $-\frac{\pi}{6} + k\pi$⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ (rozwiązania równania $2\cos(2x) - 1 = 0$ w zbiorze $\mathbb{R}$⁠)ALBO– zapisanie alternatywy trzech równań$\sin(2x) - 1 = 0$ lub $\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\sin x = -\frac{1}{2}$oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze $[0, 2\pi]$ (lub co najmniej dwóch z tych równań w zbiorze $\mathbb{R}$⁠),ALBO– zapisanie alternatywy trzech równań$\sin(2x) - 1 = 0$ lub $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze $[0, 2\pi]$ (lub co najmniej dwóch z tych równań w zbiorze $\mathbb{R}$⁠).
• 3 pktprzekształcenie równoważne równania $\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$ do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, np.:$\sin(2x) - 1 = 0$ lub $2\cos(2x) - 1 = 0$⁠,$\sin(2x) - 1 = 0$ lub $1 - 4\sin^2 x = 0$⁠,$\sin(2x) - 1 = 0$ lub $4\cos^2 x - 3 = 0$ALBO– przekształcenie równoważne równania $\sin(4x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$ do postaci$[\sin(2x) - 1] \cdot [2\cos(2x) - 1] = 0$ lub$[\sin(2x) - 1] \cdot (1 - 4\sin^2 x) = 0$⁠, lub$(4\cos^2 x - 3) \cdot [\sin(2x) - 1] = 0$⁠.
• 2 pktprzekształcenie równania do postaci$\sin(2x) \cdot [2\cos(2x) - 1] = 2\cos(2x) - 1$ lub$\sin(2x) \cdot (4\cos^2 x - 3) = 4\cos^2 x - 3$⁠, lub$\sin(2x) \cdot (1 - 4\sin^2 x) = 1 - 4\sin^2 x$⁠, lub$2\sin x \cdot \cos x \cdot [2\cos(2x) - 1] = 2\cos(2x) - 1$⁠, lub$2\sin x \cdot \cos x \cdot (4\cos^2 x - 3) = 4\cos^2 x - 3$⁠, lub$2\sin x \cdot \cos x \cdot (1 - 4\sin^2 x) = 1 - 4\sin^2 x$⁠, lub$2 \cdot (4\cos^3 x - 3\cos x) \cdot \sin x = 4\cos^2 x - 3$⁠.
• 1 pktzastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta lub cosinus podwojonego kąta, lub różnicę sinusów i zapisanie równania w postaci$2 \cdot \sin(2x) \cdot \cos(2x) - \sin(2x) = 4\cos^2 x - 3$ lub$\sin(4x) - \sin(2x) = 2\cos(2x) - 1$⁠, lub$2\cos(3x) \cdot \sin x = 4\cos^2 x - 3$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Przez sinusy: $4\cos^2 x - 3 = 1 - 4\sin^2 x$ i $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$⁠, więc równanie przyjmuje postać $[\sin(2x) - 1] \cdot (1 - 4\sin^2 x) = 0$⁠, czyli $\sin(2x) = 1$ lub $\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\sin x = -\frac{1}{2}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni jedynie błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający popełnia błędy inne niż rachunkowe i uzyska błędną alternatywę (albo błędną postać iloczynową), ale jednym z równań tej alternatywy jest: $\sin(2x) - 1 = 0$⁠, $2\cos(2x) - 1 = 0$⁠, $4\cos^2 x - 3 = 0$⁠, $1 - 4\sin^2 x = 0$⁠, i to równanie rozwiąże w przedziale $[0, 2\pi]$⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie $a(x)$⁠, zawierająceniewiadomą $x$ i nie rozważa przypadku $a(x) = 0$⁠, ale konsekwentnie rozwiąże otrzymane równanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 4. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.