Oblicz granicę x → 2⁻ x³ - 8/(x - 2)² Zapisz obliczenia.

Zadanie 2 · 2 pkt · otwarte

Granica lewostronna funkcji wymiernej w punkcie 2

Oblicz granicę $\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2}$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę sześcianów.
$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
Dla $x \ne 2$ skracamy ułamek przez $x - 2$ ⁠.
$\dfrac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Licznik otrzymanego ułamka dąży do liczby dodatniej.
$\lim\limits_{x \to 2^-} (x^2 + 2x + 4) = 12$
Dla $x < 2$ mianownik jest ujemny i dąży do zera.
$\lim\limits_{x \to 2^-} (x - 2) = 0^-$
Iloraz liczb dążących do $12$ i liczb ujemnych dążących do zera dąży do minus nieskończoności.
$\lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = -\infty$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Granica jest równa $-\infty$ ⁠.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktpoprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: $(-\infty)$ ⁠.
1 pktzapisanie wyrażenia $\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2}$ w postaci $\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$ (lub w postaci $x + 4 + \frac{12}{x - 2}$ ⁠)ALBO– zapisanie równości $\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \lim\limits_{x \to 2^-} \frac{3x^2}{2x - 4}$

Reguła de l’Hospitala: licznik i mianownik dążą do $0$ ⁠, a $\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{3x^2}{2x - 4} = -\infty$ ⁠, więc granica jest równa $-\infty$ ⁠.
Z definicji granicy niewłaściwej: dla dowolnego $M > 0$ przyjmujemy $\delta = \frac{12}{7 + M}$ ⁠; dla $-\delta < x - 2 < 0$ mamy $\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = x + 4 + \frac{12}{x - 2} < 6 - \frac{12}{\delta} = -1 - M < -M$ ⁠.

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 2