Logarytm o podstawie 12 wyrażony przez a i b

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 3 pktprzeprowadzenie pełnego rozumowania.
• 2 pktprzekształcenie wyrażenia $\frac{2\log_5 4 + \log_4 3}{\log_5 4 \cdot (1 + \log_4 3)}$ lub $\log_{12} 80$⁠, lub obydwu tych wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać tezęALBO– zapisanie jednego równania wymiernego z $a$⁠, $b$ oraz niewiadomą $x$⁠, np. $bx + x = \frac{1}{a} + 2$ (dla sposobu III),ALBO– zapisanie liczby $5$ w postaci $4^{\frac{1}{a}}$ oraz liczby $4$ w postaci $12^{\frac{1}{1 + b}}$ (dla sposobu IV).
• 1 pktzastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np. $\log_{12} 80 = \frac{\log_4 80}{\log_4 12}$⁠, $\log_{12} 80 = \frac{\log_5 80}{\log_5 12}$⁠, $2 \cdot \log_5 4 + 1 = \log_5(4 \cdot 4 \cdot 5)$⁠, $1 + \log_4 3 = \log_4(4 \cdot 3)$ALBO– zapisanie dwóch spośród liczb $3$⁠, $4$⁠, $5$ jako potęgi, której podstawą jest trzecia z nich, a wykładnik jest zależny od $a$ lub $b$⁠, np.: $5 = 4^{\frac{1}{a}}$ i $3 = 4^b$ oraz zapisanie równania $12^x = 80$ (dla sposobu III),ALBO– zapisanie liczby $4$ w postaci $12^{\frac{1}{1 + b}}$ (dla sposobu IV).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Przekształcamy prawą stronę: $\frac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)} = \frac{2\log_5 4 + 1}{\log_5 4 \cdot (1 + \log_4 3)} = \frac{\log_5 80}{\log_5 4 \cdot \log_4 12} = \frac{\log_4 80}{\log_4 12} = \log_{12} 80$⁠.
• Z definicji logarytmu $5 = 4^{\frac{1}{a}}$ i $3 = 4^b$⁠; dla $x$ spełniającego $12^x = 80$ mamy $(4^b)^x \cdot 4^x = 4^{\frac{1}{a} + 2}$⁠, więc $bx + x = \frac{1}{a} + 2$ i $x = \frac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)}$⁠.
• Z definicji logarytmu $12 = 4^{b + 1}$⁠, czyli $4 = 12^{\frac{1}{1 + b}}$⁠, oraz $80 = 5 \cdot 4^2 = 4^{\frac{1}{a} + 2} = 12^{\frac{2a + 1}{a \cdot (1 + b)}}$⁠.