Ciąg geometryczny z wyrazów ciągu arytmetycznego o sumie 105

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktZasady oceniania (dla sposobu I i II)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x = 5$⁠, $y = 20$⁠, $z = 80$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x = 5$⁠, $y = 20$⁠, $z = 80$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu IV)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x = 5$⁠, $y = 20$⁠, $z = 80$⁠.
• 3 pktZasady oceniania (dla sposobu I i II)zapisanie równania z jedną niewiadomą $r$⁠, np. $(35 - r)^2 = (35 - 2r) \cdot (35 + 3r)$ALBO– poprawne wyznaczenie $r$ w zależności od $x$ z równania $(x + r)^2 = x(x + 5r)$⁠: $r = 3x$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)zapisanie równania z jedną niewiadomą $y$⁠, np. $y^2 = (2y - 35) \cdot (140 - 3y)$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu IV)zapisanie równania $x + x \cdot q + x \cdot q^2 = 105$ oraz obliczenie $q$⁠: $q = 4$ALBO– zapisanie równania $x + x \cdot q + x \cdot q^2 = 105$ oraz zapisanie, że ciąg $(x, y, z)$ jest rosnący, więc $x \ne 0$⁠, oraz zapisanie równania $q^2 - 5q + 4 = 0$⁠.
• 2 pktZasady oceniania (dla sposobu I i II)zapisanie $x$⁠, $y$ oraz $z$ w zależności od $r$⁠: $x = 35 - 2r$⁠, $y = 35 - r$⁠, $z = 35 + 3r$ALBO– zapisanie układu równań$x + x + r + x + 5r = 105$ i $(x + r)^2 = x(x + 5r)$ lub$x + x + r + x + 5r = 105$ i $x + x \cdot \frac{x + 5r}{x + r} + x \cdot \left(\frac{x + 5r}{x + r}\right)^2 = 105$Zasady oceniania (dla sposobu III)zapisanie $x$ oraz $z$ w zależności od $y$⁠: $x = 2y - 35$⁠, $z = 140 - 3y$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu IV)zapisanie równania $4 \cdot (x \cdot q - x) = x \cdot q^2 - x \cdot q$ oraz zapisanie, że ciąg $(x, y, z)$ jest rosnący, więc $x \ne 0$ i $q \ne 1$⁠, oraz obliczenie $q$⁠: $q = 4$ALBO– zapisanie równań $4 \cdot (x \cdot q - x) = x \cdot q^2 - x \cdot q$ oraz$x + x \cdot q + x \cdot q^2 = 105$⁠.
• 1 pktZasady oceniania (dla sposobu I i II)zapisanie równania $x + x + r + x + 5r = 105$ALBO– zapisanie równania $(x + r)^2 = x(x + 5r)$⁠,ALBO– zapisanie równania $x + x \cdot \frac{x + 5r}{x + r} + x \cdot \left(\frac{x + 5r}{x + r}\right)^2 = 105$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)zapisanie równania $4 \cdot (y - x) = z - y$ lub $y^2 = xz$⁠, lub $5(y - x) = z - x$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu IV)zapisanie równania $4 \cdot (x \cdot q - x) = x \cdot q^2 - x \cdot q$ lub $x + x \cdot q + x \cdot q^2 = 105$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• W układzie równań $x + x + r + x + 5r = 105$ i $(x + r)^2 = x(x + 5r)$ drugie równanie daje $r^2 - 3rx = 0$⁠, więc $r = 0$ (odrzucamy) albo $r = 3x$⁠; wtedy $21x = 105$⁠, $x = 5$⁠, $r = 15$⁠.
• Z zależności $x + y + z = 105$⁠, $y^2 = xz$ i $4 \cdot (y - x) = z - y$ wynika, że $x = 2y - 35$⁠, $z = 140 - 3y$ i $7y^2 - 385y + 4900 = 0$⁠, czyli $y = 20$ albo $y = 35$ (wtedy $x = y = z$⁠, więc odrzucamy).
• Iloraz $q$ ciągu geometrycznego: $y = xq$⁠, $z = xq^2$ i $4 \cdot (xq - x) = xq^2 - xq$⁠; ciąg jest rosnący, więc $x \ne 0$ i $q \ne 1$⁠, stąd $q = 4$⁠, a z $x + 4x + 16x = 105$ mamy $x = 5$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. $\frac{a_1 + a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 105$⁠, $y - x = 4 \cdot (z - y)$ i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie $x$⁠, $y$ oraz $z$⁠).