Zadanie 6 · 3 pkt · otwarte

Liczby o różnych cyfrach: trzy nieparzyste i dwie parzyste

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Liczba ma dokładnie pięć różnych cyfr. Liczymy wszystkie ciągi takich cyfr: wybieramy 33 z 55 cyfr nieparzystych, 22 z 55 parzystych i ustawiamy je na 5!5! sposobów.

    L1=(53)⋅(52)⋅5!=12 000L_1 = \binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5! = 12\,000

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Ciągi zaczynające się od 00 nie są zapisem liczby. Na pozostałych czterech miejscach stoją wtedy trzy cyfry nieparzyste i jedna parzysta różna od zera; zbiorów takich cyfr jest

    (53)⋅(41)=10⋅4=40\binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1} = 10 \cdot 4 = 40

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Każdy taki zbiór ustawiamy na czterech miejscach po zerze.

    L2=40⋅4!=960L_2 = 40 \cdot 4! = 960

  4. Odejmujemy ciągi z zerem na początku.

    L1−L2=12 000−960=11 040L_1 - L_2 = 12\,000 - 960 = 11\,040

    Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

Takich liczb jest 11 04011\,040⁠.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 04011\,040⁠.
  • 2 pktzapisanie L1L_1 : (53)⋅(52)⋅5!\binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (53)⋅(41)\binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1}ALBO– zapisanie L2L_2 : (53)⋅(41)⋅4!\binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1} \cdot 4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (53)⋅(52)\binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2}⁠,ALBO– zapisanie PP : 4⋅(41)⋅(53)⋅4!4 \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{3} \cdot 4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci (n,p,n,p,n)(n, p, n, p, n) jest równa 5⋅5⋅4⋅4⋅35 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3⁠,ALBO– zapisanie NN⁠: 5⋅(52)⋅(42)⋅4!5 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot 4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci (p,n,n,p,n)(p, n, n, p, n) jest równa 4⋅5⋅4⋅4⋅34 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3⁠,ALBO– zapisanie Z+Z^+⁠: 4⋅4⋅4⋅5⋅4⋅34 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci (n,n,n,p,p)(n, n, n, p, p)⁠, gdzie p∈{2,4,6,8}p \in \{2, 4, 6, 8\}⁠, jest równa 5⋅4⋅3⋅4⋅35 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3⁠,ALBO– zapisanie Z−Z^-⁠: 10⋅4⋅3⋅5⋅4⋅310 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci (p,n,n,n,0)(p, n, n, n, 0)⁠, gdzie p∈{2,4,6,8}p \in \{2, 4, 6, 8\}⁠, jest równa 4⋅5⋅4⋅3⋅14 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1⁠.
  • 1 pktzapisanie L1L_1 (lub L2L_2⁠), np. L1=(53)⋅(52)⋅5!L_1 = \binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5!⁠, L2=(53)⋅(41)⋅4!L_2 = \binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1} \cdot 4!ALBO– zapisanie PP (lub NN⁠), np. P=4⋅(41)⋅(53)⋅4!P = 4 \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{3} \cdot 4!⁠, N=5⋅(52)⋅(42)⋅4!N = 5 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot 4!⁠,ALBO– zapisanie Z+Z^+ (lub Z−Z^-⁠), np. Z+=4⋅4⋅4⋅5⋅4⋅3=3 840Z^+ = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 3\,840⁠, Z−=10⋅4⋅3⋅5⋅4⋅3=7 200Z^- = 10 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 7\,200⁠,ALBO– zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (53)⋅(52)\binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (53)⋅(41)\binom{5}{3} \cdot \binom{4}{1}⁠,ALBO– zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (n,p,n,p,n)(n, p, n, p, n) jest równa 5⋅5⋅4⋅4⋅35 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3⁠) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci (p,n,n,p,n)(p, n, n, p, n) jest równa 4⋅5⋅4⋅4⋅34 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3⁠).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Według pierwszej cyfry: pierwsza cyfra parzysta różna od zera — P=4⋅(41)⋅(53)⋅4!=3 840P = 4 \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{3} \cdot 4! = 3\,840⁠, pierwsza cyfra nieparzysta — N=5⋅(52)⋅(42)⋅4!=7 200N = 5 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot 4! = 7\,200⁠; razem P+N=11 040P + N = 11\,040⁠.
  • Według tego, czy w zapisie jest zero: z zerem Z+=4⋅4⋅4⋅5⋅4⋅3=3 840Z^+ = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 3\,840 (zero na jednym z czterech miejsc poza pierwszym, potem miejsce i wartość drugiej cyfry parzystej i trzy cyfry nieparzyste), bez zera Z−=10⋅4⋅3⋅5⋅4⋅3=7 200Z^- = 10 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 7\,200⁠; razem 11 04011\,040⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom rozszerzony, zadanie 6