Zadanie 9 · 4 pkt · otwarte

Nierówność z pierwiastkami z kwadratów dwumianów

Rozwiąż nierównośćx2+4x+4<253−x2−6x+9\sqrt{x^2 + 4x + 4} < \frac{25}{3} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| dla każdej liczby rzeczywistej aa⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Wyrażenie pod pierwszym pierwiastkiem to kwadrat dwumianu (x+2)2(x + 2)^2⁠, a a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|⁠.

    x2+4x+4=∣x+2∣\sqrt{x^2 + 4x + 4} = |x + 2|

  2. Tak samo pod drugim pierwiastkiem jest (x−3)2(x - 3)^2⁠.

    x2−6x+9=∣x−3∣\sqrt{x^2 - 6x + 9} = |x - 3|

  3. Nierówność ma więc postać

    ∣x+2∣<253−∣x−3∣|x + 2| < \dfrac{25}{3} - |x - 3|

    Do tego miejsca: 1 pkt

  4. Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez liczby −2-2 i 33⁠. Dla x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) oba wyrażenia x+2x + 2 i x−3x - 3 są ujemne.

    −x−2<253+x−3-x - 2 < \dfrac{25}{3} + x - 3

  5. Dla x∈[−2,3)x \in [-2, 3) wyrażenie x+2x + 2 jest nieujemne, a x−3x - 3 ujemne.

    x+2<253+x−3x + 2 < \dfrac{25}{3} + x - 3

  6. Dla x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty) oba wyrażenia są nieujemne.

    x+2<253−x+3x + 2 < \dfrac{25}{3} - x + 3

    Do tego miejsca: 2 pkt

  7. Rozwiązujemy nierówność w pierwszym przedziale i bierzemy część wspólną z (−∞,−2)(-\infty, -2)⁠.

    −2x<223  ⇔  x>−113,x∈(−113,−2)-2x < \dfrac{22}{3} \;\Leftrightarrow\; x > -\dfrac{11}{3}, \quad x \in \left(-\dfrac{11}{3}, -2\right)

  8. W drugim przedziale nierówność jest równoważna nierówności prawdziwej, więc spełnia ją każda liczba z tego przedziału.

    5<253,x∈[−2,3)5 < \dfrac{25}{3}, \quad x \in [-2, 3)

    Do tego miejsca: 3 pkt

  9. W trzecim przedziale bierzemy część wspólną rozwiązania z [3,+∞)[3, +\infty)⁠.

    2x<283  ⇔  x<143,x∈[3,143)2x < \dfrac{28}{3} \;\Leftrightarrow\; x < \dfrac{14}{3}, \quad x \in \left[3, \dfrac{14}{3}\right)

  10. Sumujemy rozwiązania z trzech przedziałów.

    x∈(−113,143)x \in \left(-\dfrac{11}{3}, \dfrac{14}{3}\right)

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

x∈(−113,143)x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: x∈(−113,143)x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)⁠.
  • 3 pktrozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa R\mathbb{R}/wyczerpujących zbiór R\mathbb{R}⁠)ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: x+2<253−∣x−3∣x + 2 < \frac{25}{3} - |x - 3| i x+2>−(253−∣x−3∣)x + 2 > -\left(\frac{25}{3} - |x - 3|\right)⁠, a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: x−3<193−xx - 3 < \frac{19}{3} - x i x−3>−(193−x)x - 3 > -\left(\frac{19}{3} - x\right) i x−3<x+313x - 3 < x + \frac{31}{3} i x−3>−(x+313)x - 3 > -\left(x + \frac{31}{3}\right)⁠,ALBO– odczytanie z wykresów funkcji ff oraz gg pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: x=−113x = -\frac{11}{3} oraz x=143x = \frac{14}{3} i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.
  • 2 pktzastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (−∞,−2)(-\infty, -2)⁠, [−2,3)[-2, 3)⁠, [3,+∞)[3, +\infty)⁠, lub w czterech przypadkach: x+2<0x + 2 < 0 i x−3<0x - 3 < 0⁠, x+2<0x + 2 < 0 i x−3≥0x - 3 \ge 0⁠, x+2≥0x + 2 \ge 0 i x−3<0x - 3 < 0⁠, x+2≥0x + 2 \ge 0 i x−3≥0x - 3 \ge 0 (z dokładnością do domknięcia)ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: x+2<253−∣x−3∣x + 2 < \frac{25}{3} - |x - 3| i x+2>−(253−∣x−3∣)x + 2 > -\left(\frac{25}{3} - |x - 3|\right)⁠,ALBO– narysowanie wykresów funkcji f(x)=∣x+2∣f(x) = |x + 2| oraz g(x)=253−∣x−3∣g(x) = \frac{25}{3} - |x - 3|⁠.
  • 1 pktprzekształcenie danej nierówności do postaci ∣x+2∣<253−∣x−3∣|x + 2| < \frac{25}{3} - |x - 3|⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Koniunkcja nierówności: z równoważności ∣t∣<a⇔(t<a i t>−a)|t| < a \Leftrightarrow (t < a \text{ i } t > -a) zastosowanej dwukrotnie otrzymujemy ∣x−3∣<193−x|x - 3| < \frac{19}{3} - x i ∣x−3∣<x+313|x - 3| < x + \frac{31}{3}⁠, a dalej x<143x < \frac{14}{3} i x>−113x > -\frac{11}{3}⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
  • 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji f(x)=∣x+2∣f(x) = |x + 2| albo g(x)=253−∣x−3∣g(x) = \frac{25}{3} - |x - 3|⁠, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci ∣x+2∣|x + 2| oraz ∣x−3∣|x - 3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).
  • 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań x∈(−113,143)x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)⁠, ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji ff i gg⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 9