W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. Zapisz obliczenia.

Zadanie 1 · 2 pkt · otwarte

Masa substancji, która co dobę traci 19%

W chwili początkowej $(t = 0)$ masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

$19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$ ⁠. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama.Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Po każdej dobie zostaje $100\% - 19\% = 81\%$ masy z końca poprzedniej doby, więc $\frac{m(t + 1)}{m(t)} = 0{,}81$ ⁠, a masy $m(0) = 4$ ⁠, $m(1)$ ⁠, $m(2)$ ⁠, … tworzą ciąg geometryczny.
$m(t) = 4 \cdot 0{,}81^t$
Do tego miejsca: 1 pkt
Iloraz $0{,}81$ jest mniejszy od $1$ ⁠, więc funkcja $m$ jest malejąca; szukamy pierwszego $t$ ⁠, dla którego $m(t) < 1{,}5$ ⁠. Sprawdzamy $t = 4$ ⁠.
$m(4) = 4 \cdot 0{,}81^4 \approx 1{,}72 > 1{,}5$
Sprawdzamy $t = 5$ ⁠.
$m(5) = 4 \cdot 0{,}81^5 \approx 1{,}39 < 1{,}5$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$m(t) = 4 \cdot 0{,}81^t$ ⁠; masa będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama po $5$ pełnych dobach.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzapisanie wzoru funkcji $m$ ⁠: $m(t) = 4 \cdot 0{,}81^t$ oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób, po których masa substancji będzie mniejsza od $1{,}5$ grama: $5$ dób.
1 pktzapisanie wzoru funkcji $m$ ⁠: $m(t) = 4 \cdot 0{,}81^t$ ALBO– obliczenie liczby dób, po których masa substancji będzie mniejsza od $1{,}5$ grama: $5$ dób.

Uwagi z zasad oceniania CKE

Jeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci $m(t) = 4 \cdot 0{,}81^{t - 1}$ i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 1