Zadanie 4 · 3 pkt · dowód

Liczby o sumie 4 spełniające nierówność trzeciego stopnia

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x + y = 4$ i nierówność $x^3 - x^2y \le xy^2 - y^3$ ⁠.

Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę.
$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \le 0$
Grupujemy wyrazy: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = x^2(x - y) - y^2(x - y)$ ⁠, i wyłączamy wspólny czynnik $x - y$ ⁠.
$(x - y)(x^2 - y^2) \le 0$
Do tego miejsca: 1 pkt
Rozkładamy różnicę kwadratów $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ ⁠.
$(x + y)(x - y)^2 \le 0$
Z założenia $x + y = 4$ ⁠.
$4(x - y)^2 \le 0$
Do tego miejsca: 2 pkt
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest spełniona tylko wtedy, gdy kwadrat jest równy zeru.
$(x - y)^2 = 0 \;\Leftrightarrow\; x = y$
Z równania $x + y = 4$ otrzymujemy $2x = 4$ ⁠.
$x = 2, \qquad y = 4 - x = 2$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

Z założeń wynika $4(x - y)^2 \le 0$ ⁠, czyli $x = y$ ⁠, więc z $x + y = 4$ otrzymujemy $x = 2$ oraz $y = 2$ ⁠. To należało wykazać.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktprzeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności $x^3 - x^2y \le xy^2 - y^3$ do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb $x$ i $y$ (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: $x$ ⁠, $y$ ⁠, jest równa $2$ ⁠) oraz obliczenie tych liczb: $x = 2$ oraz $y = 2$ ⁠.
2 pktzastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą $x$ (lub $y$ ⁠) w postaci $ax^2 + bx + c \ge 0$ lub $ax^2 + bx + c \le 0$ ⁠, np. $16x^2 - 64x + 64 \le 0$ ALBO– wykorzystanie założenia $x + y = 4$ i zapisanie nierówności w postaci $4(x - y)^2 \le 0$ (lub $4(4 - 2y)^2 \le 0$ ⁠, lub $4(2x - 4)^2 \le 0$ ⁠),ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $(x - y)^2 \cdot (x + y) \le 0$ oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu $(x - y)^2 \cdot (x + y)$ ⁠,ALBO– zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków.
1 pktwykorzystanie zależności $x + y = 4$ i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. $x^3 - x^2(4 - x) \le x(4 - x)^2 - (4 - x)^3$ ALBO– przekształcenie nierówności $x^3 - x^2y \le xy^2 - y^3$ do postaci $(x - y)(x^2 - y^2) \le 0$ ⁠,ALBO– przekształcenie nierówności $x^3 - x^2y \le xy^2 - y^3$ do postaci $x \cdot y \ge 4$ ⁠.

Podstawienie $y = 4 - x$ — nierówność $x^3 - x^2(4 - x) \le x(4 - x)^2 - (4 - x)^3$ po zastosowaniu wzorów na kwadrat i sześcian różnicy przyjmuje postać $16x^2 - 64x + 64 \le 0$ ⁠, czyli $(4x - 8)^2 \le 0$ ⁠, więc $x = 2$ i $y = 4 - x = 2$ ⁠.

Jeżeli zdający podstawia do związków $x + y = 4$ oraz $x^3 - x^2y \le xy^2 - y^3$ konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 4