Suma sześcianów rozwiązań równania kwadratowego z parametrem

Jak to jest punktowane

W każdym etapie liczy się najwyższy poziom, który rozwiązanie spełnia; punkty za etapy się sumują.

Etap I

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności $\Delta > 0$⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

• 1 pktpoprawne rozwiązanie nierówności $\Delta > 0$⁠: $m \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{11}{5}, +\infty\right)$⁠.

Etap II

Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru $m$⁠, dla których jest spełniony warunek $x_1^3 + x_2^3 > -28$⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.Podział punktów za drugi etap rozwiązania:

• 3 pktrozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą $m$⁠, wynikającej z warunku $x_1^3 + x_2^3 > -28$⁠: $m \in \left(2, \frac{9}{4}\right)$⁠.
• 2 pktzapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$⁠, wynikającej z warunku $x_1^3 + x_2^3 > -28$⁠, np. $-64 - 3 \cdot \left(-\frac{m - 3}{m - 2}\right) \cdot (-4) > -28$ALBO– zapisanie nierówności $\left(-2 - \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}\right)^3 + \left(-2 + \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}\right)^3 > -28$ i poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej jednego ze składników sumy $\left(-2 - \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}\right)^3 + \left(-2 + \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}\right)^3$⁠.
• 1 pktprzekształcenie nierówności $x_1^3 + x_2^3 > -28$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. $(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) > -28$ALBO– wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego $x^2 + 4x - \frac{m - 3}{m - 2}$ w zależności od $m$⁠: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{\frac{20m - 44}{m - 2}}}{2 \cdot 1}$⁠, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{\frac{20m - 44}{m - 2}}}{2 \cdot 1}$⁠.

Etap III

Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru $m$⁠, które spełniają jednocześnie dwa warunki: $\Delta > 0$ i $x_1^3 + x_2^3 > -28$⁠: $m \in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$⁠.Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

• 1 pktpoprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru $m$⁠, które spełniają jednocześnie warunki $\Delta > 0$ i $x_1^3 + x_2^3 > -28$⁠: $m \in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$⁠.

Łącznie 5 pkt

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Etap II przez pierwiastki: $x_1 = -2 - \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}$⁠, $x_2 = -2 + \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}$⁠; dla $p = \sqrt{\frac{5m - 11}{m - 2}}$ nierówność $(-2 - p)^3 + (-2 + p)^3 > -28$ po zastosowaniu wzorów na sześcian sumy i różnicy (albo wzoru na sumę sześcianów) daje $p^2 - 1 < 0$⁠, czyli $\frac{4m - 9}{m - 2} < 0$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• Jeżeli zdający rozwiązuje warunek $\Delta \ge 0$⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
• 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.
• 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że $x_1 + x_2 = \pm\frac{m - 3}{m - 2}$ lub $x_1 \cdot x_2 = \pm 4$⁠, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje 0 punktów.
• 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności $x_1^3 + x_2^3 > -28$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - x_1 \cdot x_2]$⁠, i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt za II etap.