Określamy kwadraty K1, K2, K3, … następująco: • K1 jest kwadratem o boku długości a • K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3 • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2, • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn-1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

L = 4a1 - √(10)4 = 8(4 + √(10))a3

Zadanie 10 · 4 pkt · otwarte

Suma obwodów nieskończenie wielu kwadratów wpisanych

Określamy kwadraty $K_1$ ⁠, $K_2$ ⁠, $K_3$ ⁠, $\ldots$ następująco:

• $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$

• $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$

• $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \ge 2$ ⁠,

• $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ ⁠.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Oznaczmy przez $a_n$ długość boku kwadratu $K_n$ ( $a_1 = a$ ⁠). Wierzchołek $K_2$ dzieli bok $K_1$ na odcinki $\frac{1}{4}a$ i $\frac{3}{4}a$ ⁠, a bok $K_2$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o tych przyprostokątnych.
$a_2 = \sqrt{\left(\dfrac{1}{4}a\right)^2 + \left(\dfrac{3}{4}a\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}a$
Do tego miejsca: 1 pkt
Każdy kolejny kwadrat powstaje z poprzedniego w ten sam sposób, więc boki, a zatem i obwody, tworzą ciąg geometryczny o ilorazie
$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$
Do tego miejsca: 2 pkt
Suma obwodów $L$ to suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $4a$ i ilorazie $q$ ⁠.
$L = 4a\left(1 + \dfrac{\sqrt{10}}{4} + \dfrac{5}{8} + \ldots\right)$
Do tego miejsca: 3 pkt
Szereg jest zbieżny, bo $|q| = \frac{\sqrt{10}}{4} < 1$ (gdyż $\sqrt{10} < 4$ ⁠).
$L = \dfrac{4a}{1 - \frac{\sqrt{10}}{4}}$
Do tego miejsca: 4 pkt
Upraszczamy wynik, usuwając niewymierność z mianownika.
$L = \dfrac{16a}{4 - \sqrt{10}} = \dfrac{16(4 + \sqrt{10})a}{6} = \dfrac{8(4 + \sqrt{10})a}{3}$

Odpowiedź

$L = \frac{4a}{1 - \frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{8(4 + \sqrt{10})a}{3}$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $L = \frac{4a}{1 - \frac{\sqrt{10}}{4}}$ (lub $L = \frac{8 \cdot (4 + \sqrt{10})a}{3}$ ⁠).
3 pktzapisanie: $L = 4a\left(1 + \frac{\sqrt{10}}{4} + \frac{5}{8} + \ldots\right)$ ⁠.
2 pktobliczenie ilorazu ciągu: $q = \frac{\sqrt{10}}{4}$ ⁠.
1 pktobliczenie długości boku drugiego kwadratu: $a_2 = \frac{\sqrt{10}}{4}a$ ⁠.

1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu $q$ ciągu, o ile $q \in (0, 1)$ ⁠, oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).
3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu $K_1$ i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz $q$ ciągu, który jest liczbą spoza przedziału $(0, 1)$ ⁠, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie $a_2$ ⁠).

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 10