Zadanie 12.1 · 2 pkt · dowód

Przekształcenie wyrażenia z logarytmami do postaci wielomianu

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 81^{\log_3 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} \cdot x^2 - 6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$ ⁠.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie $81^{\log_3 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} \cdot x^2 - 6x$ można równoważnie przekształcić do postaci $x^4 + x^2 - 6x$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Zapisujemy $81 = 3^4$ i korzystamy z równości $a^{\log_a b} = b$ (dla $x > 0$ ⁠).
$81^{\log_3 x} = \left(3^{\log_3 x}\right)^4 = x^4$
Do tego miejsca: 1 pkt
Ze wzoru na logarytm potęgi, bo $\sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}}$ ⁠.
$2 \cdot \log_2 \sqrt{27} = 2 \cdot \dfrac{3}{2}\log_2 3 = 3\log_2 3$
Ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu $\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$ ⁠.
$\dfrac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} = \dfrac{3\log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3}}{3} = 1$
Zatem dla każdej liczby dodatniej $x$
$81^{\log_3 x} + 1 \cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Dla każdego $x > 0$ — $81^{\log_3 x} = x^4$ i $\frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} = 1$ ⁠, więc wyrażenie jest równe $x^4 + x^2 - 6x$ ⁠. To należało wykazać.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktpoprawne przekształcenie wyrażenia $81^{\log_3 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} \cdot x^2 - 6x$ do postaci $x^4 + x^2 - 6x$ ⁠.
1 pktpoprawne zastosowanie własności $a^{\log_a b} = b$ ⁠, tj. przekształcenie wyrażenia $3^{\log_3 x^4}$ (lub $\left(3^{\log_3 x}\right)^4$ ⁠) do postaci $x^4$ ALBO– poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 12.1