Wysokość trójkąta wyznaczonego przez środek ściany i przekątną sześcianu

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\sqrt{6}$⁠.
• 3 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka $SP$⁠), np.:$\frac{|SP|}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}$ (z podobieństwa trójkątów $PHS$ i $AHB$⁠, sposób I), $18\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot |SP|$ (z równości pól $P_{HAB} = P_{BAS} + P_{HSB}$⁠), $9\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot |SP|$ (z równości $P_{HSB} = \frac{1}{2} \cdot |HS| \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot |HB| \cdot |SP|$⁠,sposób II),ALBO– obliczenie pola trójkąta $HSR$ oraz długości odcinka $HR$⁠: $P_{\Delta HSR} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ oraz $|HR| = 3\sqrt{3}$⁠,ALBO– obliczenie długości odcinków $HP$ i $HS$⁠: $|HP| = 2\sqrt{3}$ i $|HS| = 3\sqrt{2}$⁠,ALBO– obliczenie długości odcinków $HP$ oraz cosinusa/tangensa kąta $SHP$⁠: $|HP| = 2\sqrt{3}$ i $\cos\measuredangle SHP = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ($\operatorname{tg}\measuredangle SHP = \frac{\sqrt{2}}{2}$⁠),ALBO– obliczenie długości $AK$⁠: $AK = 2\sqrt{6}$⁠.
• 2 pktobliczenie długości boków trójkąta $HSB$⁠: $|HS| = 3\sqrt{2}$⁠, $|HB| = 6\sqrt{3}$⁠, $|SB| = 3\sqrt{6}$ALBO– zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy czym jednym z nich jest trójkąt $HSP$⁠,ALBO– obliczenie/zapisanie długości odcinków $BH$ oraz $SR$⁠: $|BH| = 6\sqrt{3}$ oraz $|SR| = 3$⁠,ALBO– obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta $SHR$⁠: np. $\cos\measuredangle SHR = \frac{\sqrt{6}}{3}$⁠, $\sin\measuredangle SHR = \frac{\sqrt{3}}{3}$⁠, $\operatorname{tg}\measuredangle SHR = \frac{\sqrt{2}}{2}$⁠,ALBO– obliczenie pola trójkąta $HAB$⁠: $P_{\Delta HAB} = 18\sqrt{2}$⁠,ALBO– obliczenie długości odcinka $SB$ i sinusa kąta $SBH$⁠: $|SB| = 3\sqrt{6}$ i $\sin\measuredangle SBH = \frac{1}{3}$⁠,ALBO– zapisanie pola trójkąta $HAB$ jako sumy pól trójkątów $SAB$ oraz $HSB$ i zapisanie $P_{HSB} = \frac{1}{2} \cdot |HB| \cdot |SP|$ (lub $P_{HSB} = \frac{1}{2} \cdot P_{HAB}$⁠),ALBO– zapisanie pola trójkąta $HSB$ na dwa sposoby: $P_{HSB} = \frac{1}{2} \cdot |HS| \cdot |AB|$ oraz $P_{HSB} = \frac{1}{2} \cdot |HB| \cdot |SP|$⁠,ALBO– obliczenie pola trójkąta $HSB$⁠: $P_{HSB} = 9\sqrt{2}$⁠.
• 1 pktobliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków $BH$⁠, $SR$⁠, $HS$ albo $BS$⁠: $|BH| = 6\sqrt{3}$⁠, $|SR| = 3$⁠, $|HS| = 3\sqrt{2}$⁠, $|BS| = 3\sqrt{6}$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Trójkąty podobne $AHB$ i $PHS$ (cecha kkk): $\frac{|SP|}{|AB|} = \frac{|SH|}{|BH|}$⁠, czyli $\frac{|SP|}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}$⁠, skąd $|SP| = \sqrt{6}$ (to samo daje dwukrotne użycie sinusa kąta $SHP$⁠).
• Trójkąt $HSR$⁠, gdzie $R$ jest środkiem $BH$ — $|SR| = 3$⁠, $P_{\Delta HSR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ i $P_{\Delta HSR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot |SP|$⁠.
• Cosinus kąta $SHP$ — $\cos\measuredangle SHP = \frac{|AH|}{|BH|} = \frac{\sqrt{6}}{3}$⁠, więc $|HP| = 2\sqrt{3}$⁠, a z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $HPS$ — $|SP| = \sqrt{6}$⁠.
• Wysokość $AK$ trójkąta $HAB$ — $P_{\Delta HAB} = 18\sqrt{2}$⁠, $|AK| = 2\sqrt{6}$⁠, a trójkąty $HSP$ i $HAK$ są podobne w skali $\frac{1}{2}$⁠.
• Ostrosłupy prawidłowe $DEGH$ i $DEGB$ o wspólnej podstawie $DEG$ — punkt $P$ jest środkiem trójkąta równobocznego $DEG$ o boku $6\sqrt{2}$⁠, więc $|SP| = \frac{1}{3} \cdot \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznejb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasac) zastosowanie niepoprawnej tożsamości $\sqrt{x^2 + y^2} = x + y$d) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusówe) błędne zastosowanie wzoru Heronato zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający korzysta ze związku $|HP| = \frac{1}{3} \cdot |HB|$ (gdzie $P$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $S$ na podstawę $HB$ trójkąta $HSB$⁠) i nie uzasadni jego prawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.