Zadanie 6 · 3 pkt · otwarte

Równanie trygonometryczne z iloczynem sinusa i cosinusa

Rozwiąż równanie $4\sin(4x)\cos(6x) = 2\sin(10x) + 1$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Zapisujemy $10x = 6x + 4x$ i stosujemy wzór na sinus sumy kątów.
$\sin(10x) = \sin(6x)\cos(4x) + \cos(6x)\sin(4x)$
Do tego miejsca: 1 pkt
Podstawiamy to do równania.
$4\sin(4x)\cos(6x) = 2\sin(6x)\cos(4x) + 2\cos(6x)\sin(4x) + 1$
Przenosimy wyrazy z $\sin(6x)\cos(4x)$ i $\cos(6x)\sin(4x)$ na lewą stronę.
$2\sin(4x)\cos(6x) - 2\cos(4x)\sin(6x) = 1$
Lewa strona to $2\sin(4x - 6x) = 2\sin(-2x) = -2\sin(2x)$ ⁠.
$-2\sin(2x) = 1 \;\Leftrightarrow\; \sin(2x) = -\dfrac{1}{2}$
Do tego miejsca: 2 pkt
Sinus przyjmuje wartość $-\frac{1}{2}$ dla kątów $\frac{7}{6}\pi$ i $\frac{11}{6}\pi$ i kątów różniących się od nich o wielokrotność $2\pi$ ⁠.
$2x = \dfrac{7}{6}\pi + 2k\pi \;\lor\; 2x = \dfrac{11}{6}\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Dzielimy obie strony przez $2$ ⁠.
$x = \dfrac{7}{12}\pi + k\pi \;\lor\; x = \dfrac{11}{12}\pi + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

$x = \frac{7}{12}\pi + k\pi$ lub $x = \frac{11}{12}\pi + k\pi$ ⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{7}{12}\pi + k\pi$ oraz $\frac{11}{12}\pi + k\pi$ ⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ ⁠.
2 pktprzekształcenie równania do postaci $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ lub $\sin(-2x) = \frac{1}{2}$ ⁠.
1 pktzastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i zapisanie $\sin(10x)$ jako $\sin(6x)\cos(4x) + \cos(6x)\sin(4x)$ ALBO– zastosowanie wzoru na sumę/różnicę sinusów i zapisanie wyrażenia $2\sin(4x)\cos(6x)$ jako $\sin(10x) - \sin(2x)$ lub $\sin(10x) + \sin(-2x)$ ⁠,ALBO– zastosowanie wzorów na sinus różnicy i cosinus sumy kątów i zapisanie $4\sin(4x)\cos(6x)$ jako $[\sin(5x)\cos x - \cos(5x)\sin x] \cdot [\cos(5x)\cos x - \sin(5x)\sin x]$ ⁠.

Wzór na różnicę sinusów: dla $\frac{\alpha - \beta}{2} = 4x$ i $\frac{\alpha + \beta}{2} = 6x$ mamy $\alpha = 10x$ ⁠, $\beta = 2x$ ⁠, więc $4\sin(4x)\cos(6x) = 2(\sin(10x) - \sin(2x))$ i równanie sprowadza się do $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ ⁠.
Wzory na sinus różnicy i cosinus sumy: $4\sin(5x - x)\cos(5x + x) = 2\sin(10x) - 2\sin(2x)$ ⁠, więc znów $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ ⁠.

1. Jeżeli zdający popełnia błąd rachunkowy, w wyniku którego otrzymuje jedną serię rozwiązań, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na:– niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy lub sumy/różnicy sinusów, lub iloczyn sinusa i cosinusaALBO– błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometryczneji konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, i otrzyma co najmniej jedną serię rozwiązań, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 6