Styczna do wykresu funkcji wymiernej w punkcie o rzędnej 3

Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $P$ należy do wykresu funkcji $f$⁠, więc $f(x_0) = 3$⁠.

   $$\dfrac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8} = 3$$

2. Mnożymy obie strony przez mianownik, który jest dodatni (jego wyróżnik $4 - 32$ jest ujemny).

   $$3x_0^2 - 2x_0 = 3x_0^2 + 6x_0 + 24$$

3. Porządkujemy równanie.

   $$-8x_0 = 24 \;\Leftrightarrow\; x_0 = -3$$

   Do tego miejsca: 1 pkt

4. Zapisujemy $f = \frac{g}{h}$⁠, gdzie $g(x) = 3x^2 - 2x$ i $h(x) = x^2 + 2x + 8$⁠, i obliczamy pochodne tych funkcji.

   $$g'(x) = 6x - 2, \qquad h'(x) = 2x + 2$$

5. Ze wzoru na pochodną ilorazu $f' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$ obliczamy licznik pochodnej.

   $$(6x - 2)(x^2 + 2x + 8) - (3x^2 - 2x)(2x + 2) = 8x^2 + 48x - 16$$

6. Zatem pochodna funkcji $f$ jest równa

   $$f'(x) = \dfrac{8x^2 + 48x - 16}{(x^2 + 2x + 8)^2}$$

   Do tego miejsca: 2 pkt

7. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $P$ to $f'(-3)$⁠.

   $$f'(-3) = \dfrac{72 - 144 - 16}{11^2} = -\dfrac{88}{121} = -\dfrac{8}{11}$$

8. Styczna ma współczynnik kierunkowy $-\frac{8}{11}$ i przechodzi przez punkt $P = (-3, 3)$⁠.

   $$y = -\dfrac{8}{11}(x + 3) + 3$$

   Do tego miejsca: 3 pkt

9. Zapisujemy równanie stycznej w postaci kierunkowej.

   $$y = -\dfrac{8}{11}x + \dfrac{9}{11}$$