Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1/4. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Zadanie 2 · 3 pkt · otwarte

Co najmniej cztery wygrane w pięciu partiach szachów

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$ ⁠.

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Sukcesem w pojedynczej partii jest wygrana Tomka; prawdopodobieństwo porażki to dopełnienie do $1$ ⁠.
$p = \dfrac{1}{4}, \qquad q = 1 - p = \dfrac{3}{4}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Niech $S_5^k$ oznacza zdarzenie: Tomek wygrał dokładnie $k$ partii z pięciu. Ze schematu Bernoullego dla $k = 4$
$P(S_5^4) = \binom{5}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^4 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{1024}$
Dla $k = 5$
$P(S_5^5) = \binom{5}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 = \dfrac{1}{1024}$
Zdarzenia $S_5^4$ i $S_5^5$ są rozłączne, więc prawdopodobieństwo wygrania co najmniej czterech partii to suma ich prawdopodobieństw.
$P = P(S_5^4) + P(S_5^5) = \dfrac{15}{1024} + \dfrac{1}{1024}$
Do tego miejsca: 2 pkt
Dodajemy i skracamy ułamek.
$P = \dfrac{16}{1024} = \dfrac{1}{64}$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

$P = \frac{1}{64}$

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{1}{64}$ ⁠.
2 pktzapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech sukcesów w pięciu próbach Bernoullego, np. $P = \binom{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 + \binom{5}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5$ ⁠, $P = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \frac{3}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^5$ ⁠, $P = 1 - \left[\binom{5}{0} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 + \binom{5}{1} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 + \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 + \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1\right]$
1 pktzapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu $(p)$ i porażki $(q)$ w pojedynczej partii: $p = \frac{1}{4}$ ⁠, $q = \frac{3}{4}$ ALBO– zapisanie prawdopodobieństwa w postaci $p^5 + 5p^4 \cdot q$ ⁠, gdzie $p$ jest prawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, $q$ – porażki,ALBO– przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie odpowiadające pięciu wygranym i czterem wygranym,ALBO– przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą czterem wygranym i jednej przegranej oraz określenie na każdym odcinku gałęzi prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

Drzewo: rysujemy gałęzie odpowiadające pięciu i czterem wygranym; $P(A) = \left(\frac{1}{4}\right)^5 + 5 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}$ ⁠.
Zdarzenie przeciwne (co najwyżej trzy wygrane): $P(A') = P(S_5^0) + P(S_5^1) + P(S_5^2) + P(S_5^3) = \frac{63}{64}$ ⁠, więc $P(A) = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$ ⁠. W zasadach CKE ostatni składnik trzeciego przykładu z poziomu 2 pkt ma wykładnik $1$ przy $\frac{3}{4}$ ⁠, a powinien mieć $2$ ⁠, bo $P(S_5^3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$ ⁠; ocena się nie zmienia.

Uwagi z zasad oceniania CKE

1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa $P(S_5^4) = \binom{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1$ oraz $P(S_5^5) = \binom{5}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5$ ⁠, ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że $P = P(S_5^4) + P(S_5^5)$ ⁠, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający określa błędnie prawdopodobieństwo porażki i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 2