Zadanie 8 · 4 pkt · otwarte

Obwód czworokąta opisanego na okręgu

Czworokąt ABCDABCD⁠, w którym ∣BC∣=4|BC| = 4 i ∣CD∣=5|CD| = 5⁠, jest opisany na okręgu. Przekątna ACAC tego czworokąta tworzy z bokiem BCBC kąt o mierze 60∘60^\circ⁠, natomiast z bokiem ABAB – kąt ostry, którego sinus jest równy 14\frac{1}{4}⁠.

Oblicz obwód czworokąta ABCDABCD⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Oznaczmy α=∣∡BAC∣\alpha = |\measuredangle BAC|⁠, sin⁡α=14\sin\alpha = \frac{1}{4}⁠. W trójkącie ABCABC kąt 60∘60^\circ przy CC leży naprzeciw boku ABAB⁠, a kąt α\alpha naprzeciw boku BCBC⁠; z twierdzenia sinusów

    ∣AB∣32=414\dfrac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4}{\frac{1}{4}}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Stąd

    ∣AB∣=16⋅32=83|AB| = 16 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. W czworokąt ABCDABCD można wpisać okrąg, więc sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

    ∣AB∣+∣CD∣=∣BC∣+∣AD∣|AB| + |CD| = |BC| + |AD|

  4. Obwód jest więc równy podwojonej sumie ∣AB∣+∣CD∣|AB| + |CD|⁠.

    ObABCD=2⋅(∣AB∣+∣CD∣)Ob_{ABCD} = 2 \cdot (|AB| + |CD|)

    Do tego miejsca: 3 pkt

  5. Podstawiamy ∣AB∣=83|AB| = 8\sqrt{3} i ∣CD∣=5|CD| = 5⁠.

    ObABCD=2⋅(83+5)=163+10Ob_{ABCD} = 2 \cdot (8\sqrt{3} + 5) = 16\sqrt{3} + 10

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

ObABCD=163+10Ob_{ABCD} = 16\sqrt{3} + 10

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 163+1016\sqrt{3} + 10⁠.
  • 3 pktobliczenie długości boku ABAB⁠: ∣AB∣=83|AB| = 8\sqrt{3} i zapisanie ObABCD=2⋅(∣AB∣+∣CD∣)Ob_{ABCD} = 2 \cdot (|AB| + |CD|)ALBO– obliczenie długości boku ABAB⁠: ∣AB∣=83|AB| = 8\sqrt{3} i zapisanie równania 83+5=4+∣AD∣8\sqrt{3} + 5 = 4 + |AD|⁠.
  • 2 pktobliczenie długości boku ABAB⁠: 838\sqrt{3}ALBO– zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,ALBO– zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,ALBO– zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.
  • 1 pktzapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):1) ∣AB∣32=414\frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{4}} lub 14=23∣AB∣\frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{|AB|}⁠,2) 12⋅4⋅∣AC∣⋅32=12⋅∣AC∣⋅∣AB∣⋅14\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |AC| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \frac{1}{4}⁠,3) ObABCD=2⋅(∣AB∣+∣CD∣)Ob_{ABCD} = 2 \cdot (|AB| + |CD|)⁠,4) ∣AB∣+5=4+∣AD∣|AB| + 5 = 4 + |AD|ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą xx (długością boku ABAB⁠), np. x2=16+(2+x154)2−4(2+x154)x^2 = 16 + \left(2 + \frac{x\sqrt{15}}{4}\right)^2 - 4\left(2 + \frac{x\sqrt{15}}{4}\right)⁠, 16=(2+154x)2+x2−152⋅(2+154x)x16 = \left(2 + \frac{\sqrt{15}}{4}x\right)^2 + x^2 - \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \left(2 + \frac{\sqrt{15}}{4}x\right)x(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABCABC i dwóch kątów tego trójkąta).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Pole trójkąta ABCABC na dwa sposoby: 12⋅4⋅∣AC∣⋅32=12⋅∣AC∣⋅∣AB∣⋅14\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |AC| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \frac{1}{4}⁠, skąd ∣AB∣=83|AB| = 8\sqrt{3}⁠.
  • Wysokość BEBE trójkąta ABCABC — trójkąt BCEBCE jest połową trójkąta równobocznego o boku 44⁠, więc ∣EB∣=23|EB| = 2\sqrt{3}⁠, a z sin⁡α=∣EB∣∣AB∣\sin\alpha = \frac{|EB|}{|AB|} mamy ∣AB∣=83|AB| = 8\sqrt{3}⁠.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 8