Punkt na okręgu o średnicy wyznaczonej przez prostą i parabolę

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 6 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $C = \left(\frac{11}{10}, -\frac{3}{10}\right)$⁠.
• 5 pktzapisanie jednego równania stopnia pierwszego i równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi, np.$\begin{cases} y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} \\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{2} \end{cases}$ (pr. $AC$ i okrąg $\mathcal{O}$⁠),$\begin{cases} y = 7(x - 1) - 1 \\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{2} \end{cases}$ (pr. $SC$ i okrąg $\mathcal{O}$⁠),ALBO– wyznaczenie równania prostej $CC_1$⁠: $y = -x + \frac{4}{5}$⁠,ALBO– zapisanie układu równań liniowych, np. równań prostych $AC$ i $BC$⁠.
• 4 pktzapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi, np.$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2}$ (pr. $AC$⁠),$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{2}$ (okrąg $\mathcal{O}$⁠),$y = 7(x - 1) - 1$ (pr. $SC$⁠),$\sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - x\right)^2 + \left(-\frac{1}{2} - y\right)^2}$ (okrąg o środku w punkcie $B$ i promieniu $BC$⁠), $3\sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - x\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - y\right)^2}$ (okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $AC$⁠), $\frac{\sqrt{\left(\frac{3}{2} - x\right)^2 + \left(-\frac{1}{2} - y\right)^2}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2} - x\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - y\right)^2}} = \frac{1}{3}$ (wykorzystanie zależności między przyprostokątnymi $BC$ oraz $AC$⁠).
• 3 pktobliczenie współczynnika kierunkowego prostej $AC$⁠: $2$ oraz obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą $l$⁠: $A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ oraz $B = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ALBO– obliczenie współrzędnych środka $S$ okręgu $\mathcal{O}$ lub promienia $R$ okręgu $\mathcal{O}$⁠: $S = (1, -1)$ lub $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$⁠, lub $|AB| = \sqrt{2}$⁠,ALBO– obliczenie współczynnika kierunkowego prostej $SC$⁠: $7$ oraz obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą $l$⁠: $A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ oraz $B = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$⁠.
• 2 pktobliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą $l$⁠: $A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ oraz $B = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ALBO– obliczenie współczynnika kierunkowego prostej $AC$⁠: $2$⁠,ALBO– obliczenie współczynnika kierunkowego prostej $SC$⁠: $7$⁠,ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu $A$ lub $B$⁠), które wynika z układu równań $\begin{cases} y = 4x^2 - 7x + 1 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases}$ oraz zapisanie, że $a_{AC} = \operatorname{tg}(\alpha + 45^\circ)$ (lub $a_{SC} = \operatorname{tg}(2\alpha + 45^\circ)$⁠),ALBO– zapisanie, że pierwsza/druga współrzędna środka $S$ okręgu jest średnią arytmetyczną rozwiązań równania $4x^2 - 8x + 3 = 0$ (lub $4y^2 + 8y + 3 = 0$⁠), np. $x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}$⁠, $x_S = \frac{\frac{8}{4}}{2}$ (wzory Viète’a).
• 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu $A$ lub $B$⁠), które wynika z układu równań $\begin{cases} y = 4x^2 - 7x + 1 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases}$⁠, np.$x - 2 = 4x^2 - 7x + 1$⁠, $y = 4(y + 2)^2 - 7(y + 2) + 1$ALBO– zapisanie, że $a_{AC} = \operatorname{tg}(\alpha + 45^\circ)$ lub $a_{SC} = \operatorname{tg}(2\alpha + 45^\circ)$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Długości przyprostokątnych: z $\operatorname{tg}\alpha = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{1}{3}$ i $|AB| = \sqrt{2}$ mamy $|AC| = \frac{3\sqrt{5}}{5}$⁠, $|BC| = \frac{\sqrt{5}}{5}$⁠; z równań okręgów o środkach $B$ i $A$ otrzymujemy prostą $y = -x + \frac{4}{5}$⁠, a potem $100x^2 - 280x + 187 = 0$ i odrzucamy punkt leżący pod prostą $l$⁠.
• Okrąg i prosta $AC$ — okrąg $\mathcal{O}$ ma równanie $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{2}$⁠, prosta $AC$ — $y = 2x - \frac{5}{2}$⁠; z układu $5x^2 - 8x + \frac{11}{4} = 0$⁠, czyli $x = \frac{1}{2}$ (punkt $A$⁠) lub $x = \frac{11}{10}$⁠.
• Średnica przez $C$ — kąt środkowy $CSB$ ma miarę $2\alpha$⁠, $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{3}{4}$⁠, więc prosta $SC$ ma współczynnik $\operatorname{tg}(2\alpha + 45^\circ) = 7$⁠; z układu z równaniem okręgu $|x - 1| = \frac{1}{10}$ i wybieramy punkt nad prostą $l$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający obliczy $C_1 = \left(\frac{11}{10}, -\frac{3}{10}\right)$ oraz $C_2$ (różny od $C_1$⁠) i nie odrzuci $C_2$⁠, to otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) zastosowanie niepoprawnej równości $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta$⁠,b) zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej,c) podstawienie do równania okręgu średnicy zamiast promienia,d) błędne zastosowanie wzorów Viète’a przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu,to zdający może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.