Zadanie 12.2 · 4 pkt · otwarte

Najmniejsza wartość funkcji na zbiorze liczb dodatnich

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=81log⁡3x+2⋅log⁡227⋅log⁡323⋅x2−6xf(x) = 81^{\log_3 x} + \frac{2 \cdot \log_2 \sqrt{27} \cdot \log_3 2}{3} \cdot x^2 - 6x dla każdej liczby dodatniej xx⁠.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji ff określonej dla każdej liczby dodatniej xx⁠.Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji ff można przedstawić w postaci f(x)=x4+x2−6xf(x) = x^4 + x^2 - 6x⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Korzystamy z postaci f(x)=x4+x2−6xf(x) = x^4 + x^2 - 6x i obliczamy pochodną dla x>0x > 0⁠.

    f′(x)=4x3+2x−6f'(x) = 4x^3 + 2x - 6

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Rozkładamy pochodną na czynniki: 4x3+2x−6=4(x3−1)+2(x−1)4x^3 + 2x - 6 = 4(x^3 - 1) + 2(x - 1)⁠.

    f′(x)=(x−1)(4x2+4x+6)f'(x) = (x - 1)(4x^2 + 4x + 6)

  3. Trójmian 4x2+4x+64x^2 + 4x + 6 jest dodatni (jego wyróżnik 16−9616 - 96 jest ujemny), więc pochodna zeruje się tylko w jednym punkcie.

    f′(x)=0  ⇔  x=1f'(x) = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 1

    Do tego miejsca: 2 pkt

  4. Znak pochodnej jest taki jak znak czynnika x−1x - 1⁠, więc funkcja ff jest malejąca w przedziale (0,1](0, 1] i rosnąca w przedziale [1,+∞)[1, +\infty)⁠; najmniejszą wartość przyjmuje dla x=1x = 1⁠.

    f′(x)<0 dla x∈(0,1),f′(x)>0 dla x∈(1,+∞)f'(x) < 0 \text{ dla } x \in (0, 1), \qquad f'(x) > 0 \text{ dla } x \in (1, +\infty)

    Do tego miejsca: 3 pkt

  5. Obliczamy wartość najmniejszą.

    f(1)=14+12−6⋅1=−4f(1) = 1^4 + 1^2 - 6 \cdot 1 = -4

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji ff jest równa −4-4 (dla x=1x = 1⁠).

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktuzasadnienie, że funkcja ff przyjmuje wartość najmniejszą dla x=1x = 1 i obliczenie wartości najmniejszej funkcji ff⁠: (−4)(-4)⁠.
  • 3 pktuzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja ff przyjmuje wartość najmniejszą dla x=1x = 1⁠.
  • 2 pktpoprawne rozwiązanie równania 4x3+2x−6=04x^3 + 2x - 6 = 0⁠: x=1x = 1⁠.
  • 1 pktwyznaczenie pochodnej funkcji ff⁠: f′(x)=4x3+2x−6f'(x) = 4x^3 + 2x - 6⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji ff z błędem i wyznaczona pochodna nie jest wielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
  • 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości xx⁠, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz:– opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji ffLUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości xx funkcja ff ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartośćLUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości xx funkcja ff ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
  • 3. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-” znak pochodnej.
  • 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla x=1x = 1 funkcja ff osiąga najmniejszą wartość i obliczy f(1)=−4f(1) = -4⁠, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. Jeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy f(1)=−4f(1) = -4⁠, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
  • 5. Jeżeli zdający:– nie rozwiązuje równania 4x3+2x−6=04x^3 + 2x - 6 = 0⁠, lecz stwierdza, że liczba 11 jest jego rozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego równaniaALBO– popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu 4x3+2x−64x^3 + 2x - 6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje w zbiorze (0,+∞)(0, +\infty) wartość najmniejsząi dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2023, poziom rozszerzony, zadanie 12.2